Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Преобразуем исходное уравнение:
$\sqrt{a(2^x-2)+2^{2x}}=2^x-a\\ \sqrt{a(2^x-2)+(2^x)^2}=2^x-a$
Введём замену $2^x=t$, $t>0$:
$\sqrt{a(t-2)+t^2}=t-a$
Для решения полученного уравнения наложим необходимые ограничения и возведём обе части в квадрат. Тогда полученное уравнение будет равносильно системе:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left(\sqrt{a( t-2) +t^{2}}\right)^{2} =( t-a)^{2}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a( t-2) +t^{2} =t^{2} -2ta+a^{2}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} at-2a=-2at+a^{2}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3at=a^{2} +2a\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a^{2} +2a}{3a}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a( a+2)}{3a}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \end{array}$
Далее рассмотрим два случая.
1. $a=0$:
$\displaystyle \begin{array}{l} \sqrt{0\cdot (2^x-2)+2^{2x}}=2^x \\ \sqrt{2^{2x}}=2^x \\ 2^x=2^x \end{array}$
Тогда при $a=0$ уравнение имеет бесконечное количество решений. Значит, $a=0$ нам не подходит.
2. $a\ne 0$:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a( a+2)}{3a}\\ t-a\geq 0\\ t >0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ t-a\geq 0\\ t >0\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ \frac{a+2}{3} -a\geq 0\\ \frac{a+2}{3} >0\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ \frac{a+2-3a}{3} \geq 0\\ a >-2\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ \frac{2-2a}{3} \geq 0\\ a >-2\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\frac{a+2}{3}\\ a\leq 1\\ a >-2\\ a\neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow a\in ( -2;0) \cup ( 0;1] \end{array}$
Таким образом, исходное уравнение будет иметь единственное решение при $a\in ( -2;0) \cup ( 0;1]$.
Ответ: $a\in ( -2;0) \cup ( 0;1]$