Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Преобразуем исходное уравнение:
$x^{10}+(a-2|x|)^5+x^2-2|x|+a=0\\ x^{10}+x^2=2|x|-a-(a-2|x|)^5\\ x^{10}+x^2=(2|x|-a)^5+(2|x|-a)~(1)$
Пусть $f(t)=t^5+t$, тогда уравнение (1) можно представить в виде $f(x^2)=f(2|x|-a)$. Исследуем поведение функции $f(t)$. Для этого найдём производную:
$f'(t)=5t^4+1$
$f'(t)>0$ для всех $t\Rightarrow f(t)$ строго возрастает на всей области существования. Тогда из $f(x^2)=f(2|x|-a)\Rightarrow x^2=2|x|-a$.
 
Преобразуем полученное уравнение:
$\displaystyle x^{2} =2|x|-a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 0\\ x^{2} =2x-a \end{cases}\\ \begin{cases} x< 0\\ x^{2} =-2x-a \end{cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 0\\ a=-x^{2} +2x \end{cases}\\ \begin{cases} x< 0\\ a=-x^{2} -2x \end{cases} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq 0\ \\ a=-( x-1)^{2} +1 \end{cases} \ ( 1)\\ \begin{cases} x< 0\\ a=-( x+1)^{2} +1 \end{cases} \ ( 2) \end{array} \right.$
Для дальнейшего решения используем графический метод. Будем использовать координатную плоскость, где в качестве оси ординат будет выступать параметрическая ось $Oa$. Изобразим на этой координатной плоскости решения систем (1) и (2).
 
Решением системы (1) будет часть параболы $a=-(x-1)^2+1$ с ветвями вниз и вершиной в точке $(1;1)$, расположенная правее оси $Oa~(x\geq 0)$.
 
Решением системы (2) будет часть параболы $a=-(x+1)^2+1$ с ветвями вниз и вершиной в точке $(-1;1)$, расположенная левее оси $Oa~(x< 0)$.

В координатах $XOa$ графическое представление конкретного значения параметра $a$ будет соответствовать прямой, параллельной оси абсцисс $(a=z,z\in R)$.
 
Чтобы исходная система имела более трёх различных решений, прямая $a=z$ должна иметь больше трёх точек пересечения с графиком $x^2=2|x|-a$. Найдём количество пересечений при различных значениях $a$:
- при $a<0$, прямая $a=z$ будет иметь две точки пересечения, значит, исходное уравнение будет иметь 2 корня;
- при $a=0$, прямая $a=z$ совпадёт с осью абсцисс и будет иметь три точки пересечения, значит, исходное уравнение будет иметь 3 корня;
- при $a>0$ и до момента прохождения через вершины парабол $(a=1)$ прямая $a=z$ будет иметь четыре точки пересечения, значит, исходное уравнение будет иметь 4 корня;
- при прохождении через вершины парабол $(a=1)$ прямая $a=z$ будет иметь две точки пересечения, значит, исходное уравнение будет иметь 2 корня;
- при $a>1$ точки пересечения не будет, значит, исходное уравнение не будет иметь корней.
 
Таким образом, исходное уравнение имеет более трёх различных решений $a\in (0;1)$.

Ответ: $a\in (0;1)$.