Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Раскроем модуль:
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} |x-2|=x-2,если\ x-2\geq 0\\ |x-2|=2-x,если\ x-2< 0 \end{array} \right.$
Из первого уравнения получаем систему:
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} ( x-2)( y+2x-4) =( x-2)^{3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2\geq 0 \end{cases}\\ \begin{cases} ( x-2)( y+2x-4) =( 2-x)^{3}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2< 0 \end{cases} \end{array} \right.$
Упростим первое выражение:
$(x-2)(y+2x-4)=(x-2)^3\\ (x-2)(y+2x-4)-(x-2)^3=0\\ (x-2)(y+2x-4-(x-2)^2)=0\\ (x-2)(y+2x-4-x^2+4x-4)=0\\ (x-2)(y-x^2+6x-8)=0$
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем совокупность:
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ \ \ \ \ \ \ \ x=2\\ y=x^{2} -6x+8 \end{array} \right. \ при\ x\geq 2$
Упростим второе выражение:
$(x-2)(y+2x-4)=(2-x)^3\\ (x-2)(y+2x-4)-(2-x)^3=0\\ (x-2)(y+2x-4)+(-2+x)^3=0\\ (x-2)(y+2x-4+(x-2)^2)=0\\ (x-2)(y+2x-4+x^2-4x+4)=0\\ (x-2)(y+x^2-2x)=0$
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем совокупность:
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ \ \ \ \ \ x=2\\ y=-x^{2} +2x \end{array} \right. \ при\ x< 2$
Наша заданная система принимает вид:
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \left[ \begin{array}{l l} x=2\\ y=-x^{2} +2x \end{array} \right. \ \ при\ x< 2\\ \left[ \begin{array}{l l} x=2\\ y=x^{2} -6x+8 \end{array} \right. \ при\ x\geq 2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=x+a \end{array} \right.$

Наш график принимает такой вид. Он выделен синим цветом. 
Рассмотрим прямую $y=x+a$. Значение $a$ влияет на сдвиг прямой $y=x$ по оси $y$. Прямая будет иметь 2 точки пересечения с графиком $y=x^2-6x+8$ до момента касания с графиком . В этой точке она будет иметь три точки пересечения с графиком.
Найдем значение $a$ в этой точке:
Так как графики $y=x^2-6x+8$ и $y=x+a$ пересекаются в одной точке, то мы можем приравнять значения $y$:
$x^2-6x+8=x+a\\ x^2-6x+8-x-a=0\\ x^2-7x+8-a=0$
Данное квадратное уравнение должно иметь только один корень, значит дискриминант будет равен 0.
$D=b^2-4ac=49-4\cdot (8-a)=49-32+4a=17+4a\\ 4a+17=0\\ 4a=-17\\ a=-\frac{17}{4}$
При увеличении значения $a$ будет 4 точки пересечения с графиком до момента прохождения прямой $y=x+a$ через точку (2;0). При прохождении через данную точку будет 3 точки пересечения. Найдем значение $a$:
$0=2+a\\ a=-2$
При увеличении значения $a$ будет опять 4 точки пересечения до момента касания с графиком $y=-x^2+2x$. При прохождении через данную точку будет 3 точки пересечения. Найдем значение $a$:
Так как графики $y=-x^2+2$ и $y=x+a$ пересекаются в одной точке, то мы можем приравнять значения $y$:
$-x^2+2x=x+a\\ -x^2+2x-x-a=0\\ -x^2+x-a=0\\ x^2-x+a=0$
Данное квадратное уравнение должно иметь только один корень, значит дискриминант будет равен 0.
$D=b^2-4ac=1-4a\\ 1-4a=0\\ 4a=1\\ a=\frac{1}{4}$
При увеличении значения а будет 2 точки пересечения. Получаем ответ.

Ответ: $a\in (-\frac{17}{4};-2)\cup (-2;\frac{1}{4})$.