Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {∣x2−1∣−2x−x2=∣y2−1∣−2y−y2,x+y=a имеет больше двух решений.
Решение
Раскроем модули: ⎩⎨⎧x2−1≥0y2−1≥0x2−1−2x−x2=y2−1−2y−y2⎩⎨⎧x2−1≥0y2−1<0x2−1−2x−x2=−y2+1−2y−y2⎩⎨⎧x2−1<0y2−1≥0−x2+1−2x−x2=y2−1−2y−y2⎩⎨⎧x2−1<0y2−1<0−x2+1−2x−x2=−y2+1−2y−y2⎩⎨⎧[x≥1x≤−1[y≥1y≤−1y=x(1)⎩⎨⎧[x≥1x≤−1{y>−1y<1x=y2+y−1(2)⎩⎨⎧{x>−1x<1[y≥1y≤−1y=x2+x−1(3)⎩⎨⎧{x>−1x<1{y>−1y<1[y=−x−1(4)y=x (1) -- прямая, проходящая через начало координат с тангенсом угла наклона 1 (2) -- наклоненная парабола с вершиной в точке (−1,25;−0,5) (3) -- парабола с вершиной (−0,5;−1,25) (4) -- прямая, проходящая через точку (0;−1) с тангенсом угла наклона −1 y=−x+a -- множество прямых параллельных прямой y=−x Построим графики в координатах xOy:
Найдем точку касания параметрической прямой и параболы y=x2+x−1 {−1=2x+1−x+a=x2+x−1{x=−11+a=1−1−1{x=−1a=−2yкас=−1 Найдем точку касания параметрической прямой и параболы x=y2+y−1 {−1=2y+1−x+a=y2+y−1{y=−11+a=1−1−1{y=−1a=−2xкас=−1 И учтём, что при a=−1 прямые y=−x+a и y=−x−1 совпадают, ⇒ там ∞ решений. Ответ: (−2;−1]
