Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Чтобы уравнение имело два различных корня необходимо, чтобы $D>0$. Заметим, что при $a=0$ уравнение превращается в линейное и имеет $1$ корень, нам не подходит. Рассмотрим: $D=(4a+3)^2-4a(5a+2)=16a^2+24a+9-20a^2-8a$.
$-4a^2+16a+9>0\\ 4a^2-16a-9<0$ Введём функцию $f(a)=4a^2-16a-9$, найдём $f(a)=0\Rightarrow 4a^2-16a-9=0$
$\displaystyle D=256-4\cdot ( -9) \cdot 4=256+144=400\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a_{1} =\frac{16+20}{2\cdot 4}\\ a_{2} =\frac{16-20}{2\cdot 4} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a_{1} =4,5\\ a_{2} =-0,5 \end{array} \right.$
Воспользуемся методом интервалов: 

Получим, что при $a\in (-0,5;4,5)$ $D>0$, т.е. уравнение должно иметь $2$ корня. Вспомним, что при $a=0$ уравнение имеет $1$ корень, тогда $a\in (-0,5;0)\cup (0;4,5)$ уравнение имеет $2$ корня.

Ответ: $(-0,5;0)\cup (0;4,5)$