Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Представим левую и правую части неравенства в виде отдельных функций.
 
Правая часть уравнения:
$g(y)=\sqrt{1-y^2}+5$
Так как $0\leq y^2\leq 1$, то $5\leq g(y)\leq 6$.
 
Левая часть уравнения:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle f( x) =2|x-a|+7|x-3|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x-3\geq 0\\ f( x) =2|x-a|+7(x-3) \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x-3< 0\\ f( x) =2|x-a|+7(3-x) \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq 3\ \\ f( x) =2|x-a|+7x-21 \end{array} \right. \ ( 1)\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x< 3\\ f( x) =2|x-a|+21-7x \end{array} \right. \ ( 2) \end{array} \right. \end{array}$

- при $x\geq 3$ не зависимо от знака выражения $(x-a)$ $f(x)$ будет монотонно возрастать ($f(x)$ - линейная функция и коэффициент при $x>0$, так как $7x\pm 2x>0$);
- при $x<3$ не зависимо от знака выражения $(x-a)$ $f(x)$ будет монотонно убывать ($f(x)$ - линейная функция и коэффициент при $x<0$, так как $-7x\pm 2x<0$).
 
Тогда $x=3$ - точка минимума, а $f(3)=2|3-a|$ - минимальное значение $f(x)$.
 
Отметим возможные значения функций $f(x)$ и $g(y)$ на числовой прямой:

Таким образом, для того, чтобы существовала хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая неравенству $f(x)\leq g(y)$, минимальное значение $f(x)$ должно располагаться на числовой прямой левее точки $6$. То есть
$2|3-a|\leq 6\Leftrightarrow |3-a|\leq 3\Leftrightarrow \displaystyle \begin{cases} 3-a\leq 3\\ 3-a\geq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 0\\ a\leq 6 \end{cases} \Leftrightarrow a\in [ 0;6]$
Значит, хотя бы одна пара чисел $x$ и $y$, удовлетворяющая исходному неравенству, существует при $a\in [ 0;6]$.

Ответ: $a\in [ 0;6]$.