Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Рассмотрим функцию $f(t) = t^3 -t^2$. $f'(t)=3t^2-2t=t(3t-2)$. 
 
У функции два экстремума: $t=0$ и $t=\dfrac{2}{3}$. Слева от точки 0 производная положительна, а потом меняет знак - значит $t=0$ локальный максимум. $f(0)=0$. 
 
Так как $|x+a|\geq 0$, то $2+|x+a| \geq 2$. Так как при $t\geq 2$ производная функции строго положительна, функция на этом луче монотонно возрастает, а $f(2+|x+a|)\geq f(2)=4$.
 
Левее точки $t=2$ имеется точка максимума, но значение в ней меньше 4, а значит уравнение $f(t)=f(z)$ при условии $t\geq 2$ может существовать только если $z$ также $\geq 2$, в таком случае функцию можно рассматривать как монотонную и перейти к уравнению на аргументы: $2+|x+a|=3-x^2-2ax-2a^2 \\ 2+|x+a|=3-(x+a)^2 -a^2$ Сделаем замену $|x+a|=y,\ y\geq 0$, тогда уравнение примет вид: $2+y=3-y^2-a^2 \Leftrightarrow y^2 +y+2 +a^2 -3=0 \Leftrightarrow y^2 +y +a^2 -1 =0$ Относительно $y$ это квадратное уравнение, графиком которого является парабола с ветвями вверх. Тогда исходное уравнение имеет решение, если данное уравнение имеет неотрицательные решения.
 
По теореме Виета сумма корней равна $-1$, значит, если $a^2-1 >0$, то оба корня одного знака, а значит отрицательны (так как их сумма отрицательное число). 
 
Тогда $a^2 -1 \leq 0 \Leftrightarrow a\in [-1;\ 1]$. 
 
При таком условии свободный член параболы отрицательный, значит дискриминант всегда не меньше нуля, а значит уравнение имеет два корня, один из которых неотрицательный.
Ответ: $[-1;\ 1]$