Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Сделаем замену: $x+\dfrac{a^{2}}{x} =t$.

Получаем следующее уравнение $|t+1|+|t-1|=2$.
 Посмотрим все возможные раскрытия:
$t+1+t-1=2~ здесь~ t=1 при ~t >1\\ t+1-t+1=2~ здесь~ t\in R~ при~ t\in [ -1;1]\\ -t-1-t+1=2~ здесь~t=-1~ при~ t< -1$
Если $x+\frac{a^{2}}{x}$ будет лежать в следующих значениях $-1\leq x+\dfrac{a^{2}}{x} \leq 1$, то мы получим корни.  
Теперь мы узнаем промежутки, в которых может лежать функция $x+\dfrac{a^{2}}{x}$:

$x+\dfrac{a^{2}}{x} =k\\ \dfrac{x^{2} -kx+a^{2}}{x} =0$

Это может быть, когда

$\begin{cases} x^{2} -kx+a^{2} =0\\ x\neq 0 \end{cases}\\ D\geq 0\\ k^{2} -4a^{2} \geq 0\\ ( k-2a)( k+2a) \geq 0$

$k\in ( -\infty ;-2|a|] \cup [ 2|a|;+\infty )$

Для того, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, должно выполняться следующее условие:
$-1\leq -2|a|~или~ 1\geq 2|a|$

То есть, когда $\frac{1}{2} \geq |a|$ это может происходить в промежутке $[ -\frac{1}{2} ;\frac{1}{2}]$.
Ответ: $-\frac{1}{2} \leq a\leq \frac{1}{2}$.