Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Введём $u=ax^2+2x$. Тогда
$u^2-(a^2+a+2)u+a^2(a+2)=0$, то есть
$(u-a^2)(u-a-2)=0$.
Получаем два уравнения:
$ax^2+2x=a^2$ и $ax^2+2x=a+2$.
При $a<-1$ первое уравнение не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант $4(1+a^3)<0$, а второе имеет два различных корня. Значит, всего два решения.
При $a=-1$ оба уравнения совпадают и дают один корень.
При $a>-1$, $a\ne0$, оба уравнения обычно дают по два корня. Их правые части совпадают только при $a^2=a+2$, то есть при $a=2$ или $a=-1$. При $a=2$ остаются ровно два корня.
При $a=0$ уравнения становятся линейными: $2x=0$ и $2x=2$, поэтому корней ровно два.
Ответ: $(-\infty,-1)\cup\{0,2\}$