Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Положим $t=x+\dfrac{4}{x}$, тогда $|t|\ge4$. При $|t|>4$ одному значению $t$ соответствуют два различных $x$, а при $t=\pm4$ — один.
Получаем квадратное уравнение
$F(t)=at^2+t+20a-10=0$.
При $a=0$ имеем $t=10$, что даёт ровно два корня $x$.
Дискриминант равен
$D=1+40a-80a^2$. Его нули:
$a=\dfrac{5\pm\sqrt{30}}{20}$.
При $a=\dfrac{5-\sqrt{30}}{20}$ уравнение по $t$ имеет один кратный корень, причём $t>4$; он даёт ровно два значения $x$. Второй нуль дискриминанта даёт $|t|<4$ и не подходит.
Для $a>0$ ровно один корень $t$ лежит вне отрезка $[-4,4]$, когда $F(4)>0$ и $F(-4)<0$:
$36a-6>0$, $36a-14<0$.
Отсюда $\dfrac{1}{6}<a<\dfrac{7}{18}$.
Ответ: $\left\{\dfrac{5-\sqrt{30}}{20},0\right\}\cup\left(\dfrac{1}{6},\dfrac{7}{18}\right)$