Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Положим
$t=|x+a^2|+|x-1|$. Так как точки $-a^2$ и $1$ находятся на расстоянии $a^2+1$, имеем
$t=a^2+1$ на отрезке между ними, $t>a^2+1$ даёт ровно два значения $x$, а меньшие $t$ невозможны.
Уравнение по $t$:
$F(t)=t^2-8t-a^2+17=0$.
Чтобы ровно один простой корень был больше $a^2+1$, нужно
$F(a^2+1)<0$. Получаем
$a^4-7a^2+10=(a^2-5)(a^2-2)<0$, то есть
$\sqrt{2}<|a|<\sqrt{5}$.
Возможен также кратный корень выше минимального значения. Из
$D=4(a^2-1)=0$ получаем $a=\pm1$, и тогда $t=4>a^2+1=2$, поэтому оба значения подходят.
Ответ: $( -\sqrt{5},-\sqrt{2})\cup\{-1,1\}\cup(\sqrt{2},\sqrt{5})$