Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Положим
$t=|x-a^2|+|x+2|$. Минимум равен
$t_{\min}=a^2+2$. При $t=t_{\min}$ решений бесконечно много, при $t>t_{\min}$ — ровно два.
Уравнение по $t$:
$F(t)=t^2-11t+2a^2+24=0$.
Для одного простого корня выше минимума требуется
$F(a^2+2)<0$. Получаем
$a^4-5a^2+6=(a^2-2)(a^2-3)<0$, поэтому
$\sqrt{2}<|a|<\sqrt{3}$.
Кратный корень возможен при
$D=25-8a^2=0$, то есть
$a=\pm\dfrac{5}{2\sqrt{2}}$. Тогда $t=\dfrac{11}{2}>a^2+2$, поэтому оба значения также подходят.
Ответ: $\left\{-\dfrac{5}{2\sqrt{2}},\dfrac{5}{2\sqrt{2}}\right\}\cup(-\sqrt{3},-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\sqrt{3})$