Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Положим
$t=|x-2a-1|+|x-2a+1|$.
Точки $2a-1$ и $2a+1$ находятся на расстоянии $2$, поэтому
$t=2$ при $2a-1\le x\le2a+1$,
при $t>2$ каждому значению $t$ соответствуют ровно два значения $x$,
а $t<2$ невозможно.
Уравнение по $t$:
$F(t)=t^2+at+a^2-48=0$.
Ровно два решения по $x$ получаются, если ровно один простой корень по $t$ больше $2$, либо если имеется кратный корень $t>2$.
В первом случае $2$ лежит строго между корнями:
$F(2)=a^2+2a-44<0$.
Отсюда
$-1-3\sqrt{5}<a<-1+3\sqrt{5}$.
Для кратного корня $D=192-3a^2=0$, то есть $a=\pm8$. При $a=-8$ кратный корень $t=4>2$, поэтому значение подходит; при $a=8$ корень отрицателен.
Ответ: $\{-8\}\cup(-1-3\sqrt{5},-1+3\sqrt{5})$