Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) ОДЗ: $\displaystyle \begin{cases} \cos x\neq 0\\ 2\sin^{2} x >0\\ \sqrt{2}\cos x >0\\ \log_{31}\left(\sqrt{2}\cos x\right) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\neq \frac{\pi }{2} +\pi k,k\in Z\\ x\neq \pi k,k\in Z\\ \cos x >0\\ x\neq \pm \frac{\pi }{4} +2\pi k,k\in Z \end{cases}$
$(tgx+\sqrt{3})\log_{13}(2\sin^2x)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} tgx=-\sqrt{3}\\ \log_{13}\left( 2\sin^{2} x\right) =0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi }{3} +\pi k,k\in Z\\ \sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi }{3} +\pi k,k\in Z\\ x=\frac{\pi }{4} +\frac{\pi k}{2} ,k\in Z \end{array} \right.$
C учетом ограничений: $x=-\frac{\pi }{3} +2\pi k,k\in Z$

б) Отберем корни на промежутке $\left[\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности.

$x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$

Ответ: 
а) $-\frac{\pi }{3} +2\pi k,k\in Z$; б) $\frac{5\pi}{3}$