Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}$

Используем формулу синуса двойного угла:

$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}\\ \sin x(2\cos x+\sqrt{2})-(2\cos x+\sqrt{2})=0\\ (2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin x=1$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \frac{3\pi }{4} +2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi }{2} +2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$

б) Отберем корни на промежутке $[ \pi ;\frac{5\pi }{2}]$ с помощью тригонометрической окружности:

Получим числа:
$\frac{5\pi}{2};\\ \pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$
Ответ: а) ${\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z, \frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in Z}$; б) $\frac{5\pi}{2};\frac{5\pi}{4}$.