Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

Question

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Accepted Answer

а) $BO$ и $AO$ -биссектрисы, так как $O$ - центр вписанной окружности. Угол между биссектрисами углов при боковой стороне трапеции равен $90^\circ$. Поэтому угол $AOB$ равен $90^\circ$. Аналогично $\angle COD=90^\circ$.
Тогда:
$\angle AOD= {360}^{\circ} - \angle{AOB} - \angle{COD} - \angle{BOC} = {180}^{\circ} - \angle{BOC}$ значит $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC\ Ч.т.д.$
б) Треугольник $COD$ прямоугольный (см. пункт а).

$H$ - точка касания окружности и прямой $CD$. $OH\perp CD$ как радиус, проведенный в точку касания.
$OH$ - высота прямоугольного треугольника.
$OH^2=CH\cdot HD$
$K$ и $M$ - точки касания окружности и прямых $BC$ и $AD$ соответственно, $CK=CH,DH=DM$ как отрезки касательных.
Трапеция прямоугольная, поэтому $AM=BK=r$.
Тогда:
$CK=CH=5-r\ DH=DM=7-r\ OH^2=CH\cdot HD\ r^2=(5-r)\cdot (7-r)\ r^2=35-7r-5r+r^2\ 12r=35\ r=\frac{35}{12}$
$h$ - высота трапеции, $h=2r$,
$h=\frac{35}{6}\ S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h\ S+\frac{5+7}{2}\cdot \frac{35}{6}=35$
Ответ: 35