Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) Точки $M$ и $N$ лежат на окружности диаметром $BC$, поэтому:
$\angle ANM=180^{\circ } -\angle NMC=\angle ABC$ 
Значит, треугольники $ANM$ и $ABC$ подобны по двум углам $(\angle{BAC} \ -$ общий, $\angle{ABC} = \angle{ANM})$  с коэффициентом подобия:
$\frac{AM}{AC} =\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$ 
Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника $ANM$, равен $\frac{1}{2} AO$. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности диаметром $AH$, поэтому $AH=AO$.
 
б) Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ }$, поэтому $\angle ACB=75^{\circ}$. Тогда $\angle AOB=150^{\circ }$ (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда из суммы углов равнобедренного треугольника $AOB:\angle OAB=15^{\circ }$. Поэтому:
$\angle HAO=\angle CAB-\angle CAH-\angle OAB=60^{\circ } -15^{\circ } -15^{\circ } =30^{\circ }$
Имеем:
$S_{AHO} =\frac{AH\cdot AO\cdot \sin 30^{\circ }}{2} =\frac{r^{2}}{4}$
По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{BC}{\sin \angle CAB} =\frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }} =12=2r$
Откуда $r=6$ и $S_{AHO} =9$.

Ответ: $9$