Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а)

Т. к. $MN$ - средняя линия (по условию), то $MN||AC$.
 
$\angle ALN=\angle CAL$ (накрест лежащие)
$\angle CAL=\angle LAM$ ($AL$ - биссектриса)
 
$\Delta AML$ - равнобедренный, т. к. углы при основании равны $\Rightarrow AM=ML$
 
$AM=MB$ ($M$ - середина) $\Rightarrow MB=AM=ML=\frac{AB}{2}$
 
$\Delta ALB$ - прямоугольный, т. к. $ML$ - медиана, равная половине гипотенузы.
 
$\angle ACB=\angle ALB={90}^{\circ}$ и опираются на $AB\Rightarrow ACLB$ - вписанный четырехугольник
$\angle LAB=\angle LCB$ (опираются на $LB$) $\Rightarrow \angle LCB=\angle LAB=\angle LAM$
$\angle CAL=\angle CBL$ (опираются на $CB$) $\Rightarrow \angle CBL=\angle CAL=\angle LAM$
 
Значит треугольники $AML$ и $BLC$ подобны (по двум углам), ч.т.д.
 
б) Из подобия треугольников $AML$ и $BLC$ следует, что $\frac{LB}{AM}=k$.
Разделим уравнение на 2:
$\frac{LB}{2AM}=\frac{k}{2}\\ 2AM=AB\Rightarrow\frac{LB}{AB}=\frac{k}{2}$
Из $\Delta LAB$: 
$\sin LAB=\frac{LB}{AB}$
$\angle LAB=\alpha$, тогда $\angle CAB=2\alpha$
$\cos2\alpha=\frac{7}{25}=1-2\sin^2\alpha\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac{9}{25}\Rightarrow\sin\alpha=\frac{3}{5}\\ \frac{k}{2}=\frac{LB}{AB}=\sin\alpha\Rightarrow k=2\sin\alpha=\frac{6}{5}$
Из подобия треугольников $AML$ и $BLC$  следует:
$\frac{S_{BLC}}{S_{AML}}=k^2=\frac{36}{25}$

Ответ: $\frac{36}{25}$.