Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) Пусть $AB\cap DC=S$, $BH\cap EC=K$, $ED\cap AH=L$.

Пусть $BC$ - меньшее основание. Продлим $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $S$. По условию $EC\bot SD$ и $AH\bot SD$, следовательно, 
$EC||AH$ Рассмотрим $\Delta SCE$, $\Delta SBC$, $\Delta SHA$, $\Delta SAD$, они подобны по $2$-ум углам $\angle S$ - общий и углы по $90^\circ$, следовательно:
$\frac{SC}{SE}=\frac{SH}{SA}=\frac{SB}{SC}=\frac{SA}{SD}$ Возьмём отношение: 
$\frac{SC}{SE}=\frac{SA}{SD}\Rightarrow SE=\frac{SD\cdot SC}{SA}$ Рассмотрим: $\frac{SB}{SE}=SB$: 
$\frac{SD\cdot SC}{SA}=\frac{SB\cdot SA}{SD\cdot SC}~(1)$ Выберем отношение $\frac{SH}{SA}=\frac{SB}{SC}\Rightarrow SB=\frac{SH\cdot SC}{SA}$, подставим в $(1)$. $\frac{SB\cdot SA}{SD\cdot SC}=\frac{SA}{SD\cdot SC}\cdot\frac{SH\cdot SC}{SA}=\frac{SH}{SD}, получили~\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}$ Тогда рассмотрим $\Delta SBH$ и $\Delta SED$, они подобны по отношению $\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}$ и общему углу $\angle S$. Значит, что $\angle SHB=\angle SDE$ - эти углы соответственные при прямых $BH$ и $ED$, так как они равны, то $BH||ED$, ч.т.д.

б) 

$\angle BCD=135^\circ$, тогда $\angle SDA=45^\circ$. 
Получили, что $\Delta SAD$ - равнобедренный. $AH$ - высота и медиана, тогда $SH=AH=DH$. Получим, что $\frac{SH}{SD}=\frac{1}{2}$. Вспомним, что $\Delta SBH$ и $\Delta SED$ подобны. $\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}=\frac{1}{2}, т.е. \frac{BH}{ED}=\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$