Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а)

Доказать, что $\Delta ABC\sim\Delta AB_1C_1$ 
 
Проведем $B_1C_1$
$CB_1C_1B$ – вписанный четырехугольник 
Пусть $\angle CBA=\alpha$,
Тогда $\angle CB_1C_1={180}^{\circ}-\alpha$ 
$\angle C_1B_1A={180}^{\circ}-({180}^{\circ}-\alpha)=\alpha$ (смежный с $\angle CB_1C_1$) $\angle A$ о общий у $\Delta ABC~\Delta AB_1C_1$ и $\angle C_1B_1A=\angle CBA$ $\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AB_1C_1$ по двум углам
 
б) $BC-? R-?$
$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{BCB_1C_1}}=\frac{1}{5}$
Тогда $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{6}$, коэффициент подобия $=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$BC=\sqrt{6}\cdot {B_1C}=5\sqrt{6}~(подобие)$
По теореме синусов ($\Delta AB_1C_1$)
$R_{B_1C_1A}=\frac{5}{2\sin {30}^{\circ}}=5$
По теореме синусов ($\Delta CB_1B$)
$R=\frac{BC}{2\sin CB_1B}=\frac{BC}{2\sin\beta}\\ \angle BB_1A={180}^{\circ}-\beta$
Теорема синусов для $\Delta BB_1A$ 
$\frac{AB}{\sin\beta}=\frac{BB_1}{\sin {30}^{\circ}}$
Теорема косинусов для $\Delta BB_1A$
Пусть $AB_1=x$, $AB=x\sqrt{6}$
$BB_1^2=x^2+6x^2-2\cdot x\cdot x\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7x^2=3x^2\sqrt{2}=x^2(7-3\sqrt{2})\\ BB_1=x\sqrt{7-3\sqrt{2}}\\ \frac{AB}{\sin\beta}=\frac{BB_1}{\sin {30}^{\circ}}, отсюда\\ \sin\beta=\frac{AB\cdot\sin 30}{BB_1}=\frac{x\sqrt{6}}{2\cdot x\sqrt{7-3\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{7-3\sqrt{2}}}\\ R=\frac{5\sqrt{6}}{2\sin\beta}=\frac{5\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{7-3\sqrt{2}}}{2\sqrt{6}}=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}$

Ответ: $5\sqrt{7-3\sqrt{2}}$.