Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) Заметим, что $\angle BDA=90^{\circ }$, поскольку этот угол опирается на диаметр $AB$.

Тогда $BD$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$. По свойству высоты получаем, что $BD=\sqrt{CD\cdot AD}$, тогда:

$BD^{2} =CD\cdot AD$

Треугольники $EOB$ и $DOA$ равны по двум сторонам и углу между ними $(EO = AD$ и $AO = OB$ как радиусы, $\angle{EOB} = \angle{AOD}$ как вертикальные$)$, значит, $EB=AD$, откуда:
$BD^{2} =CD\cdot AD=CD\cdot BE$

б) Выразим площадь треугольника $FBE$:
$S_{FBE} =S_{OBF} +S_{OBE} =\frac{1}{2} OB\cdot BF+S_{AOD} =\frac{1}{2} OB\cdot BF+\frac{1}{2} S_{ABD} =\frac{1}{2} OB\cdot BF+\frac{1}{4} AD\cdot BD$

Вычислим длины отрезков:
$BD=\frac{2S_{ABC}}{AC} =\frac{10\cdot 5}{\sqrt{100+25}} =2\sqrt{5}\\ AD=\sqrt{AB^{2} -BD^{2}} =\sqrt{100-20} =4\sqrt{5}\\ CD=AC-AD=\sqrt{AB^{2} +BC^{2}} -4\sqrt{5} =\sqrt{125} -4\sqrt{5} =\sqrt{5}$

Применим теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $ODF$:
$\frac{BO}{OA} \cdot \frac{AD}{DC} \cdot \frac{CF}{FB} =1$ 

откуда $BF=4CF$. Таким образом, $BC=\frac{3}{4} BF=5$, $BF=\frac{20}{3}$. 
 
Следовательно:
$\frac{1}{2} OB\cdot BF+\frac{1}{4} AD\cdot BD=\frac{1}{2} \cdot 5\cdot \frac{20}{3} +\frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} =\frac{80}{3}$

Ответ: $\frac{80}{3}$.