Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P$.
а) Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $\sin\angle{AOC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $QK:KA$.

Accepted Answer

а)
$AP$ - диаметр, следовательно угол $PQA=90^\circ$. $OA$ - диаметр, следовательно угол $OMC=90^\circ$, тогда: $\left\{ \begin{array}{l} OM \perp AQ \ PQ \perp AQ \end{array} \right. \Leftrightarrow OM \| PQ \Rightarrow BC \| PQ$ Ч.Т.Д.

б) 1) Проведем $OQ$, тогда треугольник $OQA$ - равнобедренный ($OQ=OA=r$), где $OM$ - высота (и биссектриса), значит угол $QOC=$ углу $AOC$ (центральные углы), значит дуга $QC$ равен дуге $CA$.
Следовательно, угол $QPC$ равен углу $CPA$ (вписанные углы опираются на равные дуги), тогда $PC$ - биссектриса, то в треугольнике $PQA$: $PK$ – биссектриса.

$\angle AOC = \angle APQ = \alpha$ как соответственные углы при $OC \| PQ$ и секущей $PA$.

2) По свойству биссектрисы:
$\frac{QK}{KA}=\frac{PQ}{AP}$ $\Rightarrow$ В прямоугольном $\triangle{PQA}$: $\cos{\angle{APQ}} = \dfrac{PQ}{PA} = \cos{\alpha}$

По основному тригонометрическому тождеству:
$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{15}{16}}=\frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

Окружности и их взаимное расположение