Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) Углы $A_{1} BC$ и $A_{1} AC$ равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно:
$\angle A_{1} BB_{1} =\angle A_{1} AC+\angle CBB_{1} =\frac{1}{2} \angle A+\frac{1}{2} \angle B=\frac{1}{2}( \angle A+\angle B) =45^{\circ }$
б) Вычислим угол $B$:
$\angle B=90^{\circ } -\angle A=30^{\circ }$
Вычислим угол $B_{1} A_{1} A$:
$\angle B_{1} A_{1} A=\angle B_{1} BA=\frac{1}{2} \cdot 30^{\circ } =15^{\circ }$
Вычислим угол $AA_{1} C_{1}$:
$\angle AA_{1} C_{1} =\angle ACC_{1} =\frac{1}{2} \cdot 90^{\circ } =45^{\circ }$ 
таким образом, $\angle B_{1} A_{1} C_{1} =60^{\circ }$.
 
По теореме синусов имеем:
$B_{1} C_{1} =2R\sin \angle B_{1} A_{1} C_{1}$ 
где $R$ - это радиус описанной около треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ окружности и $2R=AB$.
 
Таким образом,
$B_{1} C_{1} =2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =3$

Ответ: $3$