Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$.
а) Докажите, что $AE$ параллельно $BD$.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

Accepted Answer

а) Проведем общую касательную к окружностям в точке касания $C$. Угол между этой касательной и $AC$ обозначим за $\alpha$. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой:
$\angle DBC=\angle \alpha =\angle AEC$
Таким образом, прямые $DB$ и $AE$ параллельны.

б) Заметим, что $BD$ и $AE$ - диаметры окружностей. Тогда $BD=16,AE=30$, треугольники $DBC$ и $AEC$ подобны с коэффициентом подобия:
$k=\frac{16}{30} =\frac{8}{15}$
Пусть $AC=BC=x$, заметим, что $CE:CB=15:8$, следовательно, $CE=\frac{15}{8} x$. По теореме Пифагора для треугольника $ACE$:
$x^{2} +\left(\frac{15}{8} x\right)^{2} =30^{2} \Rightarrow x=\frac{240}{17}$

Ответ: б) $\frac{240}{17}$.

Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

Окружности и их взаимное расположение