Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $\cos 2x+\sqrt{2}\cos (\frac{\pi}{2}+x)+1=0$

Используем формулу косинуса двойного угла и формулу приведения:

$1-2\sin^2x-\sqrt{2}\sin x+1=0\\ 2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-2=0\\ Обозначим \sin x=t,t\in [-1;1]\\ 2t^2+\sqrt{2}t-2=0\\ D=2+4\cdot 2\cdot 2=18\\ \sqrt{D}=3\sqrt{2}$
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t_{1} =\frac{-\sqrt{2} +3\sqrt{2}}{4} =\frac{2\sqrt{2}}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2} & \\ t_{2} =\frac{-\sqrt{2} -3\sqrt{2}}{4} =-\sqrt{2} -не~ подходит,~так~ как-\sqrt{2}<- 1 & \end{array} \right.$

$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$
 
б) Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью.

Нам подходят числа:

$2\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{9\pi}{4}\\ 3\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4}$

Ответ: а) $\frac{\pi }{4} +2\pi n,n\in Z,\frac{3\pi }{4} +2\pi k,k\in Z$; б) $\frac{9\pi }{4} ;\frac{11\pi }{4}$.