На доске написано n чисел ai(i=1,2,…,n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri=2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai−2. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r1,r2,…,rn быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1,r2,…,rn больше 2, при этом сумма чисел a1,a2,…,an уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.<br>Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1,r2,…,rn.
Решение
а) Нет, так как наибольший %, на который может быть уменьшено число 502⋅100. б) Да, например, взяли бы два числа 50 и 150, тогда:
В итоге среднее арифметическое чисел r1,r2,…rn=3%, при этом сумма чисел a1,a2,…,an уменьшилась на 5(>2n,n−2)
в) Так как наибольший %, на который может быть уменьшено число равен 4%, то нам нужно, как можно больше чисел по 50, из которых мы будем вычитать 2.
Пусть k чисел уменьшим на 2, тогда 30−k чисел уменьшаем на 2%. Так как сумма чисел уменьшилась на 40, то 40⩾2k+(30−k)⋅1 (2k - уменьшение k чисел на 2, (30−k)⋅1 - наименьшее уменьшение суммы 30−k чисел, которые уменьшаются на 2%) 40⩾2k+(30−k)⋅110⩾k
Пусть k=10, тогда r1,r2,…r10=4%, а r11,r12,…,r30=2%, среднее арифметическое: 304⋅10+2⋅20=38 Пример: Возьмем 30 чисел по 50, из первых 10 вычтем 2, из остальных 2% ⇒r1,r2,…r10=4%, а r11,r12,…,r30=2%, среднее арифметическое: 304⋅10+2⋅20=38
