Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, например числа $24$, $114$, $144$. Все заканчиваются на $4$ и делятся на $3$. А сумма их $24+114+144=282$.

б) Так как у нас каждое из написанных чисел оканчивается на $4$, а число $390$ заканчивается на $0$, то количество написанных чисел должно быть кратно $5$. Возьмём самые наименьшие $5$ чисел, которые заканчиваются на $4$ и делятся на $3$, это числа: $24$, $54$, $84$, $114$, $144$. Их сумма равна $420$, а это больше $390$, значит, такое невозможно. 

в) Обозначим количество написанных чисел как $n$. $4\cdot n$ при делении на $5$ должно давать остаток $1$, так как у нас у числа $2226$ на конце $6$. Следовательно, количество чисел может быть равно $4$, $9$, $14$, $19$ и другие. 

Предположим, что у нас $14$ чисел, тогда возьмём $14$ первых минимальных возможных чисел: $24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 264, 294, 324, 354, 384, 414$. Их сумма будет равна $\frac{24+414}{2}\cdot 14=438\cdot 7=3066>2226$, значит, нам не подходит последовательность из $14$ чисел. 

Дальше проверим $9$ чисел, возьмём первые $8$ возможных, минимальных чисел, это числа: $24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234$. Их сумма равна $1032$, от $2226$ отнимаем $1032$ и получаем $1194$, данное число тоже возможно и подходит под условие, оно и будет являться девятым числом.

Ответ: а) Да, б) Нет, в) 9.