Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на $2$, и чисел, оканчивающихся на $6$, то чисел каждого вида по $15$ штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа
$15 \cdot 2 + 15 \cdot 6 = 120$,
то есть последняя цифра должна быть равна $0$, что противоречит условию (сумма равна $2454$). Значит, поровну быть не может.
Ответ: нет.

б) Рассмотрим все идущие подряд $30$ натуральных чисел, оканчивающихся на $2$, начиная с самого маленького:
$2, 12, 22, 32, \dots, 282, 292$
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $10$. Следовательно, их сумма равна
$\frac{2 + 292}{2} \cdot 30 = 4410$
Заметим, что это наименьшая возможная сумма $30$-ти различных чисел, оканчивающихся на $2$.
Чтобы получить сумму $2454$, нужно уменьшить $4410$ на $1956$. Каждая замена числа, оканчивающегося на $2$, на число, оканчивающееся на $6$, изменяет сумму на величину $(новое) - (старое)$. Если заменить одно число, то разность должна быть $-1956$, то есть $6 - x = -1956 \Rightarrow x = 1962$, но такого числа, оканчивающегося на $2$, нет (максимальное $292$). Однако в условии спрашивается, может ли быть ровно одно число, оканчивающееся на $6$? Это означало бы $29$ чисел на $2$ и $1$ число на $6$. Тогда минимальная сумма для $29$ чисел на $2$ (начиная с $2,12,\dots,282$) плюс минимальное число на $6$ ($6$) равна:
$\frac{2+282}{2} \cdot 29 + 6 = \frac{284}{2} \cdot 29 + 6 = 142 \cdot 29 + 6 = 4118 + 6 = 4124 > 2454.$
Даже минимальная сумма слишком велика, значит, ровно одно число, оканчивающееся на $6$, невозможно.
Ответ: нет.
в) Назовём числа, оканчивающиеся на $2$, «числа Д», а оканчивающиеся на $6$ — «числа Ш».
Возьмём $30$ чисел Д: $2, 12, \dots, 292$. Сумма = $4410$.
Уберём $k$ самых больших чисел Д и добавим $k$ самых маленьких чисел Ш ($6, 16, 26, \dots$). Сумма станет:
$4410 - \sum_{i=0}^{k-1} (292 - 10i) + \sum_{i=0}^{k-1} (6 + 10i) = 4410 - 292k + 10 \cdot \frac{(k-1)k}{2} + 6k + 10 \cdot \frac{(k-1)k}{2}$
Упростим: $4410 - 292k + 5k(k-1) + 6k + 5k(k-1) = 4410 - 286k + 10k(k-1) = 4410 - 286k + 10k^2 - 10k = 4410 - 296k + 10k^2$.
При $k=6$: $4410 - 1776 + 360 = 2994 > 2454$.
При $k=11$: $4410 - 3256 + 1210 = 2364 < 2454$.
Значит, $11$ чисел Ш дают сумму меньше нужной ($2364$). Чтобы получить $2454$, нужно увеличить сумму на $90$, заменив одно из оставшихся чисел Д на другое число Д (оба оканчиваются на $2$). Например, уберём $182$ и добавим $272$: разность $272 - 182 = 90$. Тогда сумма станет $2364 + 90 = 2454$.
Итак, пример: $11$ чисел Ш: $6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96, 106$; и $19$ чисел Д, среди которых $2, 12, 22, \dots, 172, 272$ (и другие, чтобы всего $19$).
Таким образом, наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся на $6$, равно $11$.
Ответ: $11$.

Ответ:

а)Нет;

б)Нет;

в)$11$.