Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a + b; 3b - a)$.
а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$?
б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?
в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a - c| + |b - d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Accepted Answer

Из $(a;b)$ получается $(3a+b;3b-a)$. Для заданной пары $(c;d)$
$a=\dfrac{3c-d}{10}$, $b=\dfrac{c+3d}{10}$.
а) Для $(5;5)$ получаем $(a;b)=(1;2)$.
б) Если $(c;d)$ получается из $(a;b)$, то $(-d;c)$ получается из $(-b;a)$.
в) Ближайшие достижимые пары к $(9;2)$, например $(8;4)$ и $(10;0)$, находятся на расстоянии $3$; расстояния $0,1,2$ невозможны по условиям делимости на $10$.
Ответ:
а) Да;
б) Да;
в) $3$

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи