Задание 23 ОГЭ по математике

Question

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK = 6$, а сторона $AC$ в $1{,}5$ раза больше стороны $BC$.

Accepted Answer

Дано:
AK=6
AC=1,5BC
PK-?
Решение:
1) Пусть ВС=х, тогда АС=1,5х
2) Пусть $\angle KPA= \alpha$ , тогда $\angle KPC=180-\alpha$ - смежный
РКВС - вписанный четырехугольник, поэтому $\angle CBK+ \angle KPC=180$ - признак вписанного четырехугольника
$\Rightarrow \angle B= 180-\angle PKB =180-(180-\alpha)=180-180+\alpha =\alpha$
$\angle A$ общий для треугольников РКА и АВС
$\Rightarrow \triangle APK \sim \triangle ABC$ по 2-ум углам
$\cfrac{KA}{AC}=\cfrac{PK}{BC}$
$\cfrac{6}{1,5x}=\cfrac{PK}{x}$
$PK=4$

Задание 23 ОГЭ по математике

Окружности