Параллелепипед из бумаги: как сделать макет развёртки для ОГЭ и ЕГЭ

Параллелепипед — одно из основных геометрических тел школьного курса. С ним связаны задачи на площадь поверхности, объём и пространственное мышление. Причём разобраться в теме гораздо проще, если не ограничиваться рисунками в учебнике, а собрать модель своими руками. Когда фигуру можно рассмотреть со всех сторон и подержать в руках, становится легче понимать, как связаны между собой грани, рёбра и вершины. А значит, и задачи решаются увереннее.

Грани, рёбра и вершины: как не запутаться

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них представляет собой прямоугольник. Противоположные грани попарно равны, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

У фигуры:

• 6 граней;
• 12 рёбер;
• 8 вершин.

Грань — это плоская сторона фигуры. Ребро — линия пересечения двух граней. Вершина — точка, в которой сходятся три ребра. У прямоугольного параллелепипеда все углы прямые, поэтому в каждой вершине встречаются три взаимно перпендикулярных ребра.

Чем прямоугольный параллелепипед отличается от других

Кроме прямоугольного существует и наклонный параллелепипед. У него боковые рёбра расположены под углом к основанию и не образуют прямых углов.

Однако в заданиях ОГЭ и базового ЕГЭ почти всегда рассматривается именно прямоугольный параллелепипед, если отдельно не указано обратное.

Фигуру полностью задают три параметра:

• длина;
• ширина;
• высота.

Именно эти размеры используются при построении чертежей, развёрток, вычислении площади поверхности и объёма.

Развёртка — это плоское изображение всех граней объёмной фигуры. Если мысленно разрезать параллелепипед по нескольким рёбрам и разложить его на плоскости, получится именно развёртка. Понимание того, как устроена сетка фигуры, помогает не только собирать бумажные модели, но и решать геометрические задачи.

Из чего состоит развёртка

Развёртка прямоугольного параллелепипеда включает шесть прямоугольников, соединённых между собой. Среди них:

• две грани со сторонами a и b;
• две грани со сторонами b и h;
• две грани со сторонами a и h.

Именно из площадей этих шести прямоугольников складывается формула площади поверхности:

S = 2(ab + bh + ah)

Чаще всего развёртка выглядит как полоса из четырёх прямоугольников, к которой сверху и снизу присоединены два основания. Но это далеко не единственный возможный вариант.

Разные варианты развёрток одного параллелепипеда

Один и тот же параллелепипед можно развернуть несколькими способами. Всё зависит от того, по каким рёбрам выполняются разрезы.

На экзаменах иногда встречаются задания, где нужно определить, является ли предложенная сетка правильной развёрткой фигуры. Поэтому важно понимать принцип её построения, а не запоминать единственный шаблон.

Как проверить, что развёртка составлена правильно

Есть несколько простых способов проверки.

1. Каждая из шести граней должна присутствовать ровно один раз.
2. Соседние грани обязаны иметь общее ребро одинаковой длины. Если какие-то прямоугольники невозможно состыковать при сборке, значит, в чертеже допущена ошибка.

Для работы подойдут самые обычные материалы:

• линейка;
• карандаш;
• ножницы;
• канцелярский нож;
• клей-карандаш или ПВА;
• бумага плотностью 160–200 г/м² либо тонкий картон.

Для школьного макета оптимально подходит плотная бумага или тонкий картон: они сохраняют жёсткость конструкции и позволяют делать аккуратные сгибы.

Для примера соберём модель с размерами: длина — 120 мм; ширина — 90 мм; высота — 40 мм. Такой параллелепипед легко помещается на стандартном листе А4.

Шаг 1. Рисуем развёртку

Сначала запиши размеры фигуры:

• a = 120 мм;
• b = 90 мм;
• h = 40 мм.

Центральная часть развёртки состоит из четырёх прямоугольников:

• a × h;
• b × h;
• a × h;
• b × h.

Это будущие боковые грани.

К одному из прямоугольников a × h сверху и снизу добавь два прямоугольника a × b — будущие основания. Все линии проводи по линейке, а прямые углы при необходимости проверяй угольником.

Шаг 2. Добавляем припуски для склеивания

Чтобы собрать фигуру, понадобятся клапаны для склейки. Добавь по краям развёртки припуски шириной около 10–15 мм в тех местах, где будут соединяться грани.

Для более аккуратной сборки углы клапанов лучше срезать под углом примерно 45°. Тогда бумага не будет собираться в складки и выпирать в местах соединений.

Шаг 3. Вырезаем и собираем модель

Аккуратно вырежи развёртку по внешнему контуру вместе с клапанами. Затем проведи по линиям сгиба тупой стороной ножниц или непишущей ручкой — так сгибы получатся ровнее. После этого согни все грани по намеченным линиям.

Сначала склей боковую поверхность, затем приклей одно основание. Проверь, совпадают ли углы и рёбра, и только после этого закрывай второе основание. Несколько минут придерживай модель руками, пока клей не схватится.

Можно ли собрать параллелепипед без клея

Вместо обычных клапанов можно сделать специальные язычки и прорези. В этом случае язычки вставляются в прорези соседних граней и удерживают конструкцию без клея. Такая модель легко разбирается и собирается снова, что удобно для демонстрации на уроках.

Если нет времени строить чертёж самостоятельно, можно воспользоваться готовыми генераторами шаблонов. Например, сервис Templatemaker позволяет задать длину, ширину и высоту фигуры, после чего автоматически создаёт развёртку для печати в формате PDF. Останется только распечатать шаблон, вырезать его по контуру, согнуть по линиям и склеить.

Развёртки геометрических тел — типичная тема ОГЭ по математике. В таких заданиях обычно нужно определить, является ли изображённая сетка правильной развёрткой многогранника, или мысленно собрать фигуру по её развёртке.

В ЕГЭ базового уровня подобные задачи практически не встречаются. Однако там регулярно появляются задания на объём и площадь поверхности пространственных фигур, включая прямоугольный параллелепипед. Поэтому понимание того, как устроена развёртка, помогает лучше ориентироваться в геометрии и увереннее работать с формулами.

Площадь поверхности через развёртку

Площадь поверхности равна сумме площадей всех шести граней. Используется формула:

S = 2(ab + bh + ah)

Каждое слагаемое соответствует площади одной пары одинаковых граней.

На экзаменах задачи часто формулируются через реальные ситуации: расчёт упаковки, расход краски, площадь облицовки. Но алгоритм остаётся тем же:

1. Выписать длину, ширину и высоту.
2. Подставить значения в формулу.
3. Выполнить вычисления и проверить результат.

Полезно начинать решение с небольшого чертежа — так проще избежать ошибок.

Объём параллелепипеда и развёртка

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = a × b × h

Сама развёртка объём не показывает, но позволяет определить все необходимые размеры фигуры.

Именно здесь особенно помогает развитое пространственное мышление: важно понимать, какие стороны на развёртке соответствуют рёбрам объёмной фигуры.

Сделать параллелепипед из бумаги несложно, а пользы от такой работы гораздо больше, чем кажется на первый взгляд. Когда фигура превращается из рисунка в реальный объект, становится легче понимать устройство граней, рёбер и развёрток.