Как решать задачи на движение по воде

1.6К 143 ~5 мин

Обновлено 24.06.2026

ЕГЭ

10 класс

11 класс

Доброва Дарья

Методист «100балльного репетитора» по математике для ОГЭ и 10 класса

Введение

Задачи на движение по воде — классика школьной программы, которая регулярно встречается на экзаменах. На ОГЭ (задание № 23) они требуют развёрнутого решения с уравнениями, а на ЕГЭ (задание № 10) — умения быстро и точно составить математическую модель для нахождения одной из величин. Давай разберёмся с этой темой.

Наша стратегия основана на табличном методе, который исключает хаос в расчётах и позволяет системно вывести уравнение из любого условия.

Фундамент: как не запутаться в скоростях

Главное — разграничить три типа скоростей:

Собственная скорость (Vс) — потенциал транспортного средства в неподвижной воде (например, в пруду).
Скорость течения (Vт) — внешняя сила, которую диктует река.
Результирующие скорости:
- по течению: Vпо теч = Vс + Vт (река «помогает»);
- против течения: Vпр теч = Vс – Vт (река «сопротивляется»).

Не забываем главную формулу пути:
$S = v \cdot t,$
где S — путь, v — скорость, t — время.

Если собственной скорости в задаче нет, её удобно принять за x (переменную), вокруг которой будет строиться всё уравнение.

Структура твоей таблицы-помощницы:

Маршрут	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению
Против течения
Ключевое условие

Строка «Ключевое условие» — это связь между условием задачи и математическим уравнением.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Отработка заданий для ОГЭ (№ 23) с подробным решением

Здесь важно не просто найти ответ, но и грамотно оформить ход мыслей.

Задача 1 (классика с разницей во времени).

Теплоходу требуется на 1 час меньше, чтобы преодолеть 60 км по течению, чем 48 км против течения. Известно, что скорость течения составляет 4 км/ч. Требуется вычислить собственную скорость судна.

1. Структурируем данные.
Обозначим неизвестную собственную скорость как x км/ч.

Маршрут	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению	60	x + 4	60/(x+4)
Против течения	48	x – 4	48/(x-4)
Ключевое условие	t против теч. – t по теч. = 1 ч

2. Формируем и решаем уравнение.
Логика условия: время движения против течения больше. Запишем это:
$\frac{48}{(x - 4)} — \frac{60}{(x + 4)} = 1 .$

Избавимся от дробей, умножив на общий знаменатель (x – 4)(x + 4):
$48 (x + 4) - 60 (x - 4) = 1 (x ² - 16);$
$48 x + 192 - 60 x + 240 = x ² - 16;$
$- 12 x + 432 = x ² - 16 .$

Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:
$0 = x ² + 12 x - 448 .$

3. Находим корни.
Вычисляем дискриминант:

$D = 12 ² - 4 \cdot 1 \cdot (- 448) = 144 + 1792 = 1936 .$
Корень из дискриминанта: √1936 = 44.
Корни уравнения:
$x = \frac{(- 12 \pm 44)}{2} .$
$x ₁ = 16 .$
$x ₂ = - 28$ — не имеет физического смысла.

Итоговый ответ: 16.

Задача 2 (фокус на общем времени).

Моторная лодка преодолела 36 км по течению и 24 км в обратном направлении, потратив на всю дистанцию 4 часа. Скорость течения — 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

1. Заполняем таблицу.
Переменная x — искомая собственная скорость.

Маршрут	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению	36	x + 3	36/(x+3)
Против течения	24	x — 3	24/(x-3)
Ключевое условие	Сумма времён = 4 ч

2. Работа с уравнением:
$\frac{36}{(x + 3)} + \frac{24}{(x - 3)} = 4 .$

Поделим все части на 2 для упрощения вычислений:
$\frac{18}{(x + 3)} + \frac{12}{(x - 3)} = 2$

Умножаем на (x+3)(x-3):
$18 (x - 3) + 12 (x + 3) = 2 (x ² - 9);$
$18 x - 54 + 12 x + 36 = 2 x ² - 18;$
$30 x - 18 = 2 x ² - 18 .$

Упрощаем:
$30 x = 2 x ²;$
$2 x ² - 30 x = 0;$
$2 x (x - 15) = 0 .$
Это уравнение имеет два решения:
x = 0 (абсурдно) и x = 15.

Итоговый ответ: 15.

Тренируемся для ЕГЭ (№ 10): скорость и точность

В этом формате ценится умение быстро выйти на финальный результат.

Задача 1 (симметричный маршрут).

Теплоход совершает рейс: 96 км по течению и 96 км обратно. Его собственная скорость – 20 км/ч, а общее время в пути (без учета стоянок) – 10 часов. Определите скорость течения реки.

1. Анализ через таблицу. Пусть x км/ч — скорость течения.

Маршрут	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению	96	20 + x	96/(20+x)
Против течения	96	20 — x	96/(20-x)
Ключевое условие	t туда + t обратно = 10 ч

2. Составляем уравнение:
$\frac{96}{(20 + x)} + \frac{96}{(20 - x)} = 10 .$

Делим на 2 для лёгкости:
$\frac{48}{(20 + x)} + \frac{48}{(20 - x)} = 5 .$

Умножаем на (20 + x)(20 – x):
$48 (20 - x) + 48 (20 + x) = 5 (400 - x ²);$
$960 - 48 x + 960 + 48 x = 2000 — 5 x ²;$
$1920 = 2000 - 5 x ² .$

Решаем:
$5 x ² = 80;$
$x ² = 16;$
x = 4:и:x = –4 (отрицательное значение не рассматриваем).

Итоговый ответ: 4.

Задача 2 (комбинированный сюжет).

Плот проплывает 24 км за 6 часов. Катер, чья собственная скорость в 4 раза больше скорости течения, должен пройти 60 км по течению. Сколько времени у него на это уйдёт?

(без таблицы, как быстрый расчет):

1. Скорость течения = скорость плота = 24 км / 6 ч = 4 км/ч.
2. Собственная скорость катера = 4 * 4 км/ч = 16 км/ч.
3. Скорость катера по течению = 16 + 4 = 20 км/ч.
4. Искомое время = 60 км / 20 км/ч = 3 часа.

Итоговый ответ: 3.

Заключительный совет

Системный подход с таблицей превращает сложную текстовую задачу в чёткий алгоритм. Регулярная практика позволяет лучше понять логику составления уравнений и придаёт уверенности на экзамене. Пусть эти задачи станут для тебя не препятствием, а лёгким путём к надёжным баллам.