Поиск точки пересечения графиков

Пусть
\[
y_1 = kx + b\]
проходит через точки $A(2;4)$ и $B(6;3)$.

I способ:

$2k+b=4$
$6k+b=3$

II способ
\[
k = tg \alpha
\]

так как:
\[
\alpha > 90^\circ \Rightarrow \text{ вычислим }tg \beta, где \beta -смежный угол
( \alpha + \beta = 180^\circ ) .
\]

Отсюда:
\[
tg \beta = \frac{2}{8} \Rightarrow tg \alpha = tg(180^\circ — \beta) = -\frac{1}{4}
\]

Итак:

$k=-0.25\Rightarrow 2(-0.25)+b=4$
$b=4.5$

Тогда:
\[
y_1 = -0.25x + 4.5.
\]
Восстановим:

$y_2=ax+c$
$C(-5;4)D(-2;-3)$

Давай здесь решим системой (но можно и через $\alpha$), просто найди удобный треугольник):
\[
\begin{cases}
-2a + c = -3 \\
-5a + c = 4
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
3a = — 7 \\
-2a + c = — 3
\end{cases}
\begin{cases}
a = — 7\over 3 \\
c = -23\over 3
\end{cases}
\]

\[
y_2 = -\frac{7}{3}x — 7\frac{2}{3}
\]

Решаем уравнение:
\[
-0.25x + 4.5 = -\frac{7}{3}x — 7\frac{2}{3}
\]

Переписываем:
\[
-\frac{1}{4}x + \frac{7}{3}x = -7\frac{2}{3} — 4\frac{1}{2}
\]

\[
\frac{25}{12}x = -12\frac{1}{6}
\]

Теперь решим для x:
$x=-\frac{146}{25}$
$x=-5\frac{21}{25}$
$x=-5.84$

Проверяем: по графику можно заметить, что точка как раз находится между –5 и –6. Многие допускают ошибку и говорят, что по рисунку сразу видно, что она равна –5,5. Но нет, не попадайся в эту ловушку!

Ответ: –5,84.

Восстановим уравнение

$g(x)=a{x}^2+bx+c$

и снова без системы.

Вершина А (5;2), коэффициент а = –1.
Отрицательно, так как ветви направлены вниз, а число 1, потому что виден характерный изгиб верхушки: от вершины по одной клеточке вниз и в стороны (можно переместить в начало координат и убедиться в этом).

$g(x)=a(x-x_0{)}^2+y_0=–(x-5{)}^2+2=–x^2+10x-23$

Приравняем уравнения графиков функций:

$–x^2+10x-23=5x-23$
$–x^2+5x=0$
$–x(x-5)=0$

x = 0 или x = 5
Так как x = 5 — координата А, значит B (0; y).
Вычислим ординату B: в любое уравнение подставляем x = 0 и получаем, что y = –23.

Ответ: –23.

Для начала нужно понять, какому уравнению соответствует каждый график.

Нижняя парабола пересекает ось ординат в точке 7, значит, она задана уравнением g(x), потому что в f(x) пересечение в точке 58 (значение коэффициента c).

Восстановим уравнение

$g(x)=a{x}^2+bx+c$

и снова без системы.
Вершина имеет координаты (–3;–1), коэффициент а = 1, потому что классический изгиб верхушки: от вершины по одной клеточке вверх и в стороны (можно переместить в начало координат и убедиться в этом).

$g(x)=a(x-x_0{)}^2+y_0=(x+3{)}^2-1=x^2+6x+8$

Приравняем уравнения графиков функций:

$x^2+6x+8=2x^2+21x+58$
$–x^2-15x-50=0$
$(x+10)(x+5)=0$

x = –10 или x = –5
Так как x = –5 — координата А, значит, x = –10 является абсциссой B.

Ответ: –10.