Теорема Птолемея

Теорема Птолемея гласит, что для любого выпуклого четырёхугольника, который можно вписать в окружность, произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон.

Математическая запись:

Для вписанного четырёхугольника ABCD выполняется:

$AC·BD=AB·CD+BC·AD$

Где:

AC, BD — диагонали;
AB, BC, CD, AD — последовательные стороны.

Обратное утверждение: если для выпуклого четырёхугольника выполняется это равенство, то он является вписанным.

Дано: четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

Доказательство методом подобия треугольников:

Шаг 1. Построение дополнительной точки

1. На диагонали AC выберем точку E так, чтобы угол ABE был равен углу DBC.
2. Это возможно, так как мы можем построить луч BE внутри угла ABC, удовлетворяющий этому условию.

Шаг 2. Первая пара подобных треугольников
Рассмотрим треугольники ABE и DBC:

1. ∠ABE = ∠DBC (по построению).

2. ∠BAE = ∠BDC (оба угла опираются на одну дугу BC).

Таким образом, треугольники ABE и DBC подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорция:

$\frac{AB}{DB}=\frac{AE}{DC}$

Преобразуем:

$AB·DC=AE·DB$ (1)

Шаг 3. Вторая пара подобных треугольников
Теперь рассмотрим треугольники ABD и EBC:

1. ∠ADB = ∠ACB (оба угла опираются на одну дугу AB).
2. ∠ABD = ∠EBC (из первого подобия и свойства вписанных углов).

Следовательно, треугольники ABD и EBC подобны по двум углам.

Из подобия следует пропорция:

$\frac{AD}{EC}=\frac{BD}{BC}$

Преобразуем:

$AD·BC=EC·DB$ (2)

Шаг 4. Сложение полученных равенств
Сложим уравнения (1) и (2):

$AB·DC+AD·BC=AE·DB+EC·DB$;
$AB·DC+AD·BC=DB·(AE+EC)$.

Но AE + EC = AC (точка E лежит на диагонали AC).

Поэтому:

$AB·DC+AD·BC=DB·AC$

Или в традиционной записи:

$AC·BD=AB·CD+BC·AD$

Теорема доказана.

Задача 1 (простое применение)

Условие:
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Известно:

• AB = 3
• BC = 4
• CD = 6
• AD = 5
• BD = 7

Найти длину диагонали AC.

Задача 2 (равнобедренная трапеция)

Условие:

Доказать, что в равнобедренной трапеции произведение длин оснований равно разности квадратов диагонали и боковой стороны:

BC × AD = AC² – AB².

Задача 3 (равносторонний треугольник)

Условие:

Равносторонний треугольник ABC описан окружностью радиуса R. На дуге BC взята точка D, делящая эту дугу в отношении 1:3 от вершины B. Найти AD.

Задача 4 (доказательство свойства треугольника)

Условие:

В треугольнике ABC сторона BC равна половине суммы AB и AC. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей.

Когда использовать теорему Птолемея:

1. В задаче есть вписанный четырёхугольник.
2. Требуется найти связь между сторонами и диагоналями.
3. Задача содержит элементы, связанные с описанной окружностью.

Типичные ошибки:

1. Применение теоремы к невписанному четырёхугольнику.
2. Неправильное определение, какие отрезки являются диагоналями.
3. Путаница в порядке следования сторон.

Полезные комбинации:

1. Теорема Птолемея + теорема синусов.
2. Теорема Птолемея + теорема косинусов.
3. Теорема Птолемея + свойства биссектрис.

Теорема Птолемея является мощным инструментом решения планиметрических задач. Умение её применять значительно расширяет возможности при решении задач повышенной сложности на ЕГЭ и олимпиадах по математике. Рекомендуется запомнить не только формулировку теоремы, но и её доказательство, так как это помогает лучше понять условия её применения.