Термодинамика для ЕГЭ по физике: формулы, первый закон, изопроцессы и решение задач

Термодинамика — один из важнейших разделов газовой физики. Эта тема регулярно встречается в заданиях 8, 9, 10, 23 и 24 ЕГЭ по физике и может принести до 10 первичных баллов.
Для успешного изучения термодинамики важно хорошо понимать основы молекулярной физики. Поэтому, если в этой теме есть пробелы, сначала изучи другие наши статьи. [i]

Внутренняя энергия

Так как в модели идеального газа потенциальная энергия молекул равна нулю, полная энергия молекул равна их кинетической энергии.
Внутренняя энергия ( $U$ ) идеального газа равна сумме кинетических энергий молекул этого газа: [i]

U = N · Eк = N · 32 k T

Из формулы количества вещества выразим количество молекул: [i]

ν = \frac{N}{N_{A}} ⟹ N = ν N_{A}

Получим: [i]

U = \frac{3}{2} ν N_{A} k T = \frac{3}{2} ν R T

Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, получим ещё одну формулу для нахождения внутренней энергии газа: [i]

U = \frac{3}{2} p V

Чаще всего при решении задач важно не абсолютное значение внутренней энергии, а её изменение: [i]

Δ U = U_{2} - U_{1} = \frac{3}{2} ν R T_{2} - \frac{3}{2} ν R T_{1} = \frac{3}{2} ν R (T_{2} - T_{1}) = \frac{3}{2} ν R Δ T

Δ U = \frac{3}{2} ν R Δ T

Важно помнить, что формулы $Δ U = \frac{3}{2} ν R Δ T$ и Eк = 32 k T работают только для одноатомных газов, для двухатомных газов формулы кинетической и внутренней энергий будут иметь вид: [i]

Δ U = \frac{5}{2} ν R Δ T

Eк = 52 k T

В общем виде формула внутренней энергии имеет вид: [i]

U = \frac{i}{2} ν R Δ T

Количество степеней свободы ( $i$ ) — это количество независимых переменных, с помощью которых можно однозначно задать положение тела в пространстве. Для одноатомного газа оно равно 3, для двухатомного — 5, а трёхатомного и многоатомного — 6 (иногда 5). [i]

Работа газа

Рассмотрим сосуд с подвижным поршнем, лежащий горизонтально. Нагреем газ в сосуде, вследствие чего воздух начнет расширяться и поршень будет двигаться вправо. На пробку действуют три силы: сила давления со стороны газа внутри шприца, сила давления со стороны атмосферы и сила трения. Ускорением поршня пренебрегаем. [i]

Где:
$F$ — сила давления воздуха внутри шприца;
$F_{атм}$ — сила давления атмосферы;
$F_{тр}$ — сила трения.
Рассмотрим движение поршня, будем считать его равномерным. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $O X$ : [i]

F - F_{атм} - F_{тр} = 0

По формуле силы давления: [i]

F = p S

F_{тр} = const

F_{атм} = p_{0} S

Получим: [i]

p S - p_{0} S - F_{тр} = 0

p = p_{0} + \frac{F_{тр}}{S}

Найдём работу газа, учитывая, что $Δ V = S l$ : [i]

AГ = F l 0°

AГ = F l = p S l = p V

Давление газа внутри шприца оставалось неизменным, так как за счёт увеличения температуры происходит увеличение объема при постоянном количестве газа (изобарный процесс). Таким образом, выведенная выше формула работает только для изобарного процесса: [i]

A_{Г} = p Δ V при p, ν = const

Работа, совершённая внешними силами, равна сумме работ силы атмосферного давления и силы трения: [i]

A_{внеш.сил} = A_{в.с.} = A_{атм} + A_{тр} = F_{атм} l \cos 180^{\circ} + F_{тр} l \cos 180^{\circ} =

= - F_{атм} l - F_{тр} l = - l (F_{атм} + F_{тр})

Так как поршень движется равномерно, то сила, с которой газ действует на поршень, находится по формуле: [i]

F_{атм} + F_{тр} = F

Подставим: [i]

A_{в.с.} = - l \cdot F = - A_{Г}

Работа газа на графике $p (V)$
Рассмотрим график процесса 1–2, происходящего с газом, в осях p–V: [i]

Так как процесс изобарный, то работу можно найти по формуле: [i]

A = p_{0} Δ V = p_{0} (V_{2} - V_{1})

Соотнеся полученную формулу и рисунок, видим, что работа газа равна площади под графиком процесса: [i]

Работа газа равна площади под графиком процесса

A = p_{0} Δ V = p_{0} (V_{2} - V_{1}) = S

Если процесс не является изобарным, то формула AГ = p V не подойдёт. В этом случае работу газа нужно искать как площадь под графиком $p (V)$ .
Рассмотрим пример: [i]

Работа газа равна площади фигуры под графиком

В данном случае работа газа равна площади фигуры под графиком, то есть площади трапеции.
Знаки величин в термодинамике
Рассмотрим изолированную систему, в которой происходит теплообмен.
Если система получает тепло (то есть энергия подводится к системе), то количество теплоты $Q > 0$ , если же система отдаёт тепло (то есть энергия отводится от системы), то $Q < 0$ .
При увеличении объёма газа его работа положительна. Если объём газа в ходе некоторого процесса уменьшается, то работа газа отрицательна:
$A > 0$ , если $V ↑$
$A < 0$ , если $V ↓$
Знак изменения внутренней энергии определяется изменением температуры газа. При уменьшении температуры изменение внутренней энергии отрицательно, при увеличении — положительно. [i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Первый закон термодинамики

Тепло, поступившее в изолированную систему, идёт на совершение газом работы и на увеличение его внутренней энергии: [i]

Q = A + Δ U

Рассмотрим первый закон термодинамики для изопроцессов:
1) Изохорный процесс. Так как работа газа равна нулю (объём постоянный и не меняется), то закон примет вид: [i]

Q = 0 + Δ U

Q = Δ U

2) Изотермический процесс. Так как изменение внутренней энергии равно нулю (температура постоянна), то: [i]

Q = A + 0

Q = A

3) Изобарный процесс. Так как давление постоянно, то формула работы газа имеет следующий вид: [i]

A = p Δ V = p (V_{2} - V_{1})

Запишем изменение внутренней энергии: [i]

Δ U = U_{2} - U_{1} = \frac{3}{2} p V_{2} - \frac{3}{2} p V_{1} = \frac{3}{2} p (V_{2} - V_{1}) = \frac{3}{2} p Δ V

Подставим полученные значения в первый закон термодинамики: [i]

Q = A + Δ U = p (V_{2} - V_{1}) + \frac{3}{2} p (V_{2} - V_{1}) = p Δ V + \frac{3}{2} p Δ V = \frac{5}{2} p Δ V

Заменим $p Δ V$ , используя уравнение Менделеева — Клапейрона: [i]

p Δ V = ν R Δ T

Подставим в первый закон термодинамики: [i]

Q = \frac{5}{2} ν R Δ T

Адиабатный процесс

Тогда первый закон термодинамики принимает вид: [i]

0 = A + Δ U

В адиабатном процессе возможны два сценария:
1) Газ расширяется, его температура уменьшается, следовательно:
$A > 0$ ; $Δ U < 0$
2) Температура газа увеличивается, объём газа уменьшается, следовательно:
$A < 0$ ; $Δ U > 0$
Отсутствие теплообмена наблюдается в процессах, протекающих очень быстро.
Нарисуем графики адиабатного процесса (адиабату) и изотермического процесса (изотерму) в осях p–V. [i]

Как видно из графиков, адиабата убывает круче, чем изотерма. Этот факт поможет тебе отличить их друг от друга на графике $p (V)$ .
Представим воздушный шар, который быстро поднимается вверх. В этом случае теплообмена между воздухом внутри шара и внешней средой нет. При этом давление атмосферы становится меньше, что приводит к уменьшению давления внутри шара. Объём при этом, согласно графику адиабаты, увеличится, а температура — уменьшится.
При медленном движении шарика вверх он будет успевать обмениваться теплом с окружающей средой, следовательно, адиабатного процесса не будет, так как $Q \neq 0$ . Температура воздуха в шаре будет постоянна и равна температуре окружающего воздуха. Для изотермического процесса при уменьшении давления газа объём будет увеличиваться. [i]

Практикум: решение задач

Задание 1
Внутренняя энергия аргона возросла на 400 Дж, в то время как газ получил количество теплоты 650 Дж. Определите работу, совершенную газом. Ответ выразите в Дж. [i]

По условию: $Δ U = 400$ Дж; $Q = 650$ Дж.
По первому закону термодинамики:
$Q = A + Δ U ⟹ A = Q - Δ U = 650 - 400 = 250 Дж$
Ответ: 250 Дж. [i]

Задание 2
Работа, совершённая внешними силами над газом, составляет 300 Дж. В то же время внутренняя энергия газа уменьшилась на 150 Дж. Определите количество теплоты, отданное газом. Ответ выразите в Дж. [i]

$A_{в.с.} = 300$ Дж AГ = −300 Дж
$Δ U = - 150$ Дж
$Q_{отд} = | Q |$ , если $Q < 0$
По первому закону термодинамики:
$Q = A_{Г} + Δ U = - 300 - 150 = - 450 Дж$
$Q_{отд} = | - 450 | = 450 Дж$
Ответ: 450 Дж. [i]

Задание 3
Переход постоянного количества идеального газа из состояния А в состояние Б показан на $p V$ -диаграмме. Внутренняя энергия газа увеличилась на 40 кДж. Найдите количество теплоты, полученное газом в процессе А-Б. Ответ дайте в кДж. [i]

По первому закону термодинамики:
$Q = A + Δ U$
Так как $V = const$ , $A = 0$
$Q = Δ U = 40 кДж$
Ответ: 40 кДж. [i]

Задание 4
Найдите работу, совершённую над газом при переходе из состояния 1 в состояние 3. Ответ дайте в кДж. [i]

Объём уменьшается, значит работа внешних сил больше нуля:
$A_{в.с.} > 0$
Она равна площади под графиком в координатах $p (V)$ :
$A_{в.с.} = S = p | Δ V | = 2 \cdot 10^{5} \cdot (0, 06 - 0, 03) = 6000 Дж = 6 кДж$
Ответ: 6 кДж. [i]

Задание 5
Нагреватель передал некоторое количество теплоты идеальному газу. Количество газа — 4 моля. В результате этого газ перешёл из состояния 1 в состояние 2 таким образом, как показано на $p T$ -диаграмме. Найдите работу, которую совершил газ в этом процессе. Ответ выразите в Дж. [i]

По уравнению Менделеева — Клапейрона:
$p V = ν R T$
Запишем формулу работы для изобарного процесса ( $p = const$ ):
$A = p Δ V = p V_{2} - p V_{1} = ν R T_{2} - ν R T_{1} = ν R (T_{2} - T_{1}) = 4 \cdot 8, 31 \cdot (700 - 350) = 11634 Дж$
Ответ: 11634 Дж. [i]

Заключение

Теперь ты:
знаешь три основные величины термодинамики: изменение внутренней энергии, работу и количество теплоты;
знаешь первый закон термодинамики и умеешь записывать его для различных изопроцессов;
решаешь текстовые и графические задачи по термодинамике.
Главное — продолжать практиковаться и внимательно анализировать физические процессы в задачах. [i]