Тепловые машины, КПД и цикл Карно — важный подраздел газовой физики, тесно связанный с термодинамикой. В этой теме изучаются принципы работы тепловых двигателей, а также процессы превращения внутренней энергии в механическую работу.
Задания по этой теме могут встретиться в номерах 8, 9, 10, 23 и 24 ЕГЭ по физике и принести до 10 первичных баллов.
Для успешного изучения раздела важно хорошо понимать основы молекулярной физики и термодинамики. Поэтому, если в этих темах есть пробелы, сначала изучи другие наши статьи.
Тепловой двигатель
Тепловой двигатель — устройство, преобразующее внутреннюю энергию топлива в механическую энергию.
Для работы теплового двигателя необходимы несколько основных частей.
Основные элементы теплового двигателя
Рабочее тело — пар или газ, посредством которого происходит преобразование внутренней энергии топлива в механическую энергию.
Нагреватель — часть теплового двигателя, сообщающая тепло рабочему телу.
Холодильник — часть теплового двигателя, отводящая часть энергии от рабочего тела.
Для примера рассмотрим паросиловую станцию:
В котле находится рабочее тело — вода. С помощью топки к ней подводится тепло, из-за чего вода нагревается и начинает кипеть. Появляется пар, который, проходя через турбину, совершает некоторую работу, вращая вал.
Далее пар направляется в конденсатор, который состоит из множества охлаждаемых холодильником трубок. В результате пар конденсируется и превращается в жидкость, которая с помощью насоса закачивается в сборник конденсата, откуда снова поступает в котёл. Процесс зацикливается и повторяется большое количество раз.
Одним из примеров теплового двигателя является двигатель Стирлинга, изобретённый шотландским священником Робертом Стирлингом в XIX веке. В качестве рабочего тела в нём используется газ.
КПД теплового двигателя
Количество теплоты, подводимое топкой, то есть нагревателем, обозначается как $Q_н$. Аналогично, количество теплоты, отводимое от рабочего тела конденсатором, то есть холодильником, обозначается как $Q_х$.
Также у нагревателя и холодильника есть температуры, которые обозначаются как $T_н$ и $T_х$ соответственно.
Работа, которую совершает рабочее тело за цикл, находится по следующей формуле:
$A = Q_н - Q_х$
Формула КПД
Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя равен отношению работы к теплоте, подведённой нагревателем:
$\eta = \frac{A}{Q_н} (\cdot 100\%)$
КПД обозначается греческой буквой «эта» ($\eta$).
Подставим вместо работы разность теплот:
$\eta = \frac{Q_н − Q_х}{Q_н} = 1 − \frac{Q_х}{Q_н} (\cdot 100\%)$
Все вышеперечисленные формулы можно применять для любых циклических процессов.
Цикл Карно
Какой тепловой двигатель имеет максимальный КПД? Этим вопросом задался французский физик и математик Сади Карно, который родился в 1796 году. В отличие от многих своих современников, он отбросил идею создания вечного двигателя, КПД которого равно или больше 100%, и занялся поиском цикличного процесса, обладающего максимально возможным, но не 100%-ным КПД.
Цикл Карно — циклический процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов.
Процессы 1–2 и 3–4 — изотермические, а процессы 2–3 и 4–1 — адиабатные.
Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, называется идеальным тепловым двигателем. Такой двигатель является теоретической моделью: в реальности тепловых машин с циклом Карно не существует.
КПД цикла Карно
КПД цикла Карно, то есть КПД идеальной тепловой машины, может быть найден по формуле:
$\eta = \frac{T_н - T_х}{T_н} = 1 - \frac{T_х}{T_н} (\cdot 100\%)$
Из формулы видно, что для достижения КПД 100% температура холодильника должна быть равна 000 К — абсолютному нулю. Это невозможно согласно законам термодинамики, поэтому КПД любой тепловой машины всегда меньше 100%.
Практикум: решение задач
Задание 1
Чему равно количество теплоты, полученное тепловой машиной с КПД $\eta = 0{,}5$ за цикл от нагревателя, если количество теплоты, отданное холодильнику за цикл, $Q_х = 50$ Дж? Ответ дайте в Дж.
$\eta = 1 − \frac{Q_х}{Q_н}$
$\frac{Q_х}{Q_н} = 1 − \eta$
$Q_н = \frac{Q_х}{1 − \eta} = \frac{50}{1 − 0{,}5} = 100 \text{ Дж}$
Ответ: 100 Дж.
Задание 2
За цикл тепловой двигатель с КПД 60% получает от нагревателя количество теплоты $Q_н = 100$ кДж. Какое количество теплоты двигатель отдаёт за цикл холодильнику? Ответ дайте в кДж.
$\eta = 1 − \frac{Q_х}{Q_н}$
$\frac{Q_х}{Q_н} = 1 − \eta$
$Q_х = (1 − \eta) \cdot Q_н$
$Q_х = (1 − 0{,}6) \cdot 100 = 40 \text{ кДж}$
Ответ: 40 кДж.
Задание 3
Чему равен максимальный КПД, который может иметь тепловой двигатель с температурой нагревателя 527 ℃ и температурой холодильника 27 ℃? Ответ дайте в процентах.
$T_н = 527 + 273 = 800 \text{ К}$
$T_х = 27 + 273 = 300 \text{ К}$
$\eta = 1 − \frac{T_х}{T_н} = 1 − \frac{300}{800} = \frac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\%$
Ответ: 62,5%.
Задание 4
Чему равен максимально возможный КПД для теплового двигателя с температурой нагревателя 350 К и на 217 К меньшей температурой холодильника? Ответ дайте в процентах.
$T_н = 350 \text{ К}$
$T_х = T_н − 217 \quad \implies \quad T_н − T_х = 217$
$\eta = \frac{T_н − T_х}{T_н} = \frac{217}{350} = 0{,}62 = 62\%$
Ответ: 62%.
Задание 5
Температуру нагревателя идеальной тепловой машины увеличили на 10%, а температуру холодильника — уменьшили на 20%. В результате этого КПД тепловой машины стал равен 40%. Определите первоначальный КПД тепловой машины. Ответ дайте в процентах.
$T_{н2} = 1{,}1 \cdot T_{н1}$
$T_{х2} = 0{,}8 \cdot T_{х1}$
$\eta_2 = 1 − \frac{T_{х2}}{T_{н2}}$
$\eta_1 = 1 − \frac{T_{х1}}{T_{н1}} \quad (1)$
$1 − \eta_2 = \frac{0{,}8 \cdot T_{х1}}{1{,}1 \cdot T_{н1}}$
$\frac{T_{х1}}{T_{н1}} = \frac{1{,}1}{0{,}8}(1 − \eta_2) \quad (2)$
Подставим (2) в (1):
$\eta_1 = 1 − \frac{1{,}1}{0{,}8}(1 − \eta_2) = 1 − \frac{11}{8}(1 − 0{,}4) = 0{,}175 = 17{,}5\%$
Ответ: 17,5%.
Задание 6
КПД теплового двигателя изменяется в зависимости от количества теплоты, полученного за цикл от нагревателя, при постоянном количестве теплоты, отданном за цикл холодильнику, согласно приведённой таблице. Какое количество теплоты тепловой двигатель отдаёт за цикл холодильнику? Ответ дайте в Дж.
| $Q_н$, Дж | 30 | 33,75 | 45 | 54 | 67,5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\eta$, % | 10 | 20 | 40 | 50 | 60 |
$\eta = 1 − \frac{Q_х}{Q_н}$
$\frac{Q_х}{Q_н} = 1 − \eta$
$Q_х = Q_н \cdot (1 − \eta)$
Возьмём любое конкретное значение из таблицы, например, $\eta = 10\%$, $Q_н = 30$ Дж.
$Q_х = 30 \cdot (1 − 0{,}1) = 27 \text{ Дж}$
Ответ: 27 Дж.
Задание 7
Определите отношение количества теплоты, полученного за цикл от нагревателя, к количеству теплоты, отданному за цикл холодильнику, для тепловой машины с КПД 75%.
$\eta = 1 − \frac{Q_х}{Q_н}$
$\frac{Q_х}{Q_н} = 1 − \eta$
$\frac{Q_н}{Q_х} = \frac{1}{1 − \eta} = \frac{1}{1 − 0{,}75} = 4$
Ответ: 4.
Задание 8
Найдите работу, которую совершает за цикл рабочее тело теплового двигателя с КПД 80%, если количество теплоты, полученное за цикл от нагревателя, равно 1 кДж. Ответ выразите в кДж.
$\eta = \frac{A}{Q_н}$
$A = \eta \cdot Q_н = 0{,}8 \cdot 1 = 0{,}8 \text{ кДж}$
Ответ: 0,8 кДж.
Задание 10
Постоянное количество идеального одноатомного газа совершает цикл Карно. На рисунке представлен график зависимости давления газа от его объёма. На основании анализа данного графика выберите все верные утверждения из приведённых ниже.
- В процессах 2–3 и 4–1 температура газа остаётся неизменной.
- Процессы 1–2 и 2–3 являются адиабатными.
- В процессе 3–4 над газом совершают положительную работу.
- В процессе 4–1 газ отдаёт тепло.
- В процессе 1–2 внутренняя энергия газа остаётся неизменной.
- Процессы 2–3 и 4–1 соответствуют адиабатам, температура в этих процессах изменяется. Неверно.
- Процесс 2–3 является адиабатным, а процесс 1–2 — изотермическим. Неверно.
- В процессе 3–4 объём газа уменьшается: $V \downarrow \implies A_г < 0$. Работа внешних сил над газом $A_{в.с.} = −A_г > 0$ положительна. Верно.
- Процесс 4–1 является адиабатным, теплоотдачи не происходит. Неверно.
- Процесс 1–2 является изотермическим, значит, внутренняя энергия газа $U = \frac{3}{2} \nu RT$ не изменяется. Верно.
Ответ: 35.
Заключение
Теперь ты:
- знаешь принцип работы классического теплового двигателя и понимаешь, из каких процессов состоит цикл его работы;
- понимаешь связь между подведённой, отведённой энергией и работой, а также умеешь вычислять эффективность работы двигателя (КПД);
- знаешь, в каком цикле достигается максимальный КПД, и умеешь его вычислять;
- решаешь текстовые и графические задачи на КПД и цикл Карно.
Осталось только закрепить теорию на практике и прорешать больше задач в «100балльном банке».
Автор статьи
