Основы теплового баланса
При установлении теплового равновесия в результате теплообмена двух тел, количество теплоты, отданное одним телом, равно количеству теплоты, полученное вторым телом.
$Q_\text{пол}$ — количество теплоты при увеличении внутренней энергии;
$Q_\text{отд}$ — сумма теплоты при уменьшении внутренней энергии.
Также уравнение теплового баланса имеет альтернативную форму записи:
Во втором случае $Q$ может быть как меньше нуля, так и больше нуля. В случае если тело отдаёт тепло, то $Q_i 0$.
Метод калориметрии и теплоёмкость
Калориметр — прибор для измерения количества теплоты, выделяющейся или поглощающейся в каком-либо физическом процессе. Идеальный калориметр является теплоизолированным предметом, поэтому в таких процессах можно пренебречь потерей тепла.
Рассмотрим калориметр, заполненный водой. Температура воды в калориметре равна $t_1$, масса — $m_1$. Поместим в него шар температурой $t_2$ и массой $m_2$. После установления теплового равновесия значение температуры шара и воды будут одинаковы и равны $t_3$.
Пусть температура воды больше, чем температура шара, в таком случае шар получает тепло, а вода — отдаёт.
Получим:
Таким образом, зная удельную теплоёмкость воды, начальную и конечную температуру и массу воды, а также начальную температуру шара, можно найти удельную теплоёмкость вещества, из которого сделан шар:
Важно отличать удельную теплоёмкость $c$ и просто теплоёмкость $C$.
Теплоёмкость $C$ равна произведению удельной теплоёмкости $c$ на массу вещества:
Теплоёмкость измеряется в $\dfrac{\text{Дж}}{^\circ\text{C}}$ или $\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$.
Следовательно, количество теплоты, полученное или отданное телом вычисляется по формуле:
Теплоёмкость удобно использовать для тел, состоящих из нескольких веществ, так как учитывать удельную теплоёмкость каждого компонента будет сложно.
Примеры решения задач
Задание 1
В калориметре находился лёд при температуре $-15 ℃$. После добавления 50,4 г воды, имеющей температуру $35 ℃$, в калориметре установилось тепловое равновесие при $-5 ℃$. Определите первоначальную массу льда. Теплообменом с окружающей средой и теплоёмкостью калориметра пренебречь.
Дано:
$t_0 = 0 ℃$
$t_1 = -15 ℃$
$m_\text{в} = 50{,}4 \text{г}$
$t_2 = 35 ℃$
$t_3 = -5 ℃$
$m_\text{л} — ?$
$Q_\text{пол} = c_\text{л} m_\text{л}(t_3 — t_1)$ — количество теплоты, которое получает лёд;
$Q_\text{отд} = Q_\text{охл. воды} + Q_\text{крист} + Q_\text{охл. льда}$ — количество теплоты, которую отдаёт вода;
$Q_\text{охл. воды} = c_\text{в} m_\text{в}(t_2 — t_0)$ — количество теплоты, отданное водой пока она охлаждалась до нуля градусов Цельсия;
$Q_\text{крист} = \lambda m_\text{в}$ — количество теплоты, необходимое для кристаллизации воды;
$Q_\text{охл. льда} = c_\text{л} m_\text{в}(t_0 — t_3)$ — количество теплоты, необходимое для охлаждения льда, полученного из воды.
Запишем уравнение теплового баланса:
$Q_\text{отд} = Q_\text{пол}$
$c_\text{л} m_\text{л}(t_3 — t_1) = c_\text{в} m_\text{в}(t_2 — t_0) + \lambda m_\text{в} + c_\text{л} m_\text{в}(t_0 — t_3)$
$m_\text{л} = \frac{\bigl(c_\text{в}(t_2 — t_0) + \lambda + c_\text{л}(t_0 — t_3)\bigr)\, m_\text{в}}{c_\text{л}(t_3 — t_1)} = \frac{\bigl(4200 \cdot (35 — 0) + 330000 + 2100 \cdot (0 — (-5))\bigr) \cdot 50{,}4 \cdot 10^{-3}}{2100 \cdot (-5 — (-15))} = 1{,}17 \text{кг}$
Ответ: 1,17 кг.
Задание 2
В сосуде лежал кусок льда при температуре $-2 ℃$. При сообщении некоторого количества теплоты $Q$ половина льда растаяла. После этого содержимому сосуда дополнительно сообщили 150 кДж теплоты, в результате чего весь лёд растаял, а образовавшаяся вода нагрелась до $25 ℃$. Найдите $Q$. Тепловыми потерями на нагрев сосуда пренебречь.
Дано:
$t_1 = -2 ℃$
$t_0 = 0 ℃$
$Q_2 = 150 \text{кДж}$
$t_2 = 25 ℃$
$Q — ?$
$Q = c_\text{л} m_\text{л}(t_0 — t_1) + \lambda \dfrac{m_\text{л}}{2}$ — теплота, необходимая для нагрева льда до нуля градусов Цельсия и для плавления половины массы льда;
$Q_2 = \lambda \dfrac{m_\text{л}}{2} + c_\text{в} m_\text{л}(t_2 — t_0)$ — теплота, необходимая для плавления оставшейся части льда и для нагрева полученной воды до 25 градусов Цельсия.
Поделим одно уравнение на другое:
$\frac{Q}{Q_2} = \frac{c_\text{л} m_\text{л}(t_0 — t_1) + \lambda \dfrac{m_\text{л}}{2}}{\lambda \dfrac{m_\text{л}}{2} + c_\text{в} m_\text{л}(t_2 — t_0)} = \frac{c_\text{л}(t_0 — t_1) + \lambda \dfrac{1}{2}}{\lambda \dfrac{1}{2} + c_\text{в}(t_2 — t_0)}$
$Q = Q_2 \cdot \frac{c_\text{л}(t_0 — t_1) + \dfrac{\lambda}{2}}{\dfrac{\lambda}{2} + c_\text{в}(t_2 — t_0)} = 150 \cdot \frac{2100\cdot(0-(-2)) + \dfrac{330000}{2}}{\dfrac{330000}{2} + 4200\cdot(25-0)} = 94 \text{кДж}$
Ответ: 94 кДж.
