Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд \(\textbf n\) (где \(n\) – целое число), вызывающая передвижение Черепахи на \(n\) единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад \(\textbf n\)(где \(n\) – целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо \(\textbf m\) (где \(m\) – целое число), вызывающая изменение направления движения на \(m\) градусов по часовой стрелке, Налево \(\textbf m\) (где \(m\) – целое число), вызывающая изменение направления движения на \(m\) градусов против часовой стрелки. Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из \(S\) команд повторится \(k\) раз. Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 5 [Вперёд 21 Направо 90 Вперёд 27 Направо 90] Поднять хвост Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90 Опустить хвост Повтори 5 [Вперёд 47 Направо 90 Вперёд 86 Направо 90]. Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на границах этого объединения.

Способ 1. Аналитический подход 1. Разберём движение Черепахи. После каждых двух выполнений команд: Вперёд ... Направо 90 Вперёд ... Направо 90 Черепаха возвращается в исходную точку и полностью обводит прямоугольник, поэтому пять повторений не создают новую фигуру: Черепаха несколько раз проходит по тем же сторонам. 1.1. Первая фигура Начальная точка: \((0;0)\), направление - вверх. За первое повторение Черепаха проходит: \((0;0)→(0;21)→(27;21)\). За второе повторение: \((27;21)→(27;0)→(0;0)\). Получается прямоугольник с вершинами: \((0;0)\), \((0;21)\), \((27;21)\), \((27;0)\). После пяти повторений Черепаха находится в точке \((27;21)\) и направлена вниз. 1.2. Переход ко второй фигуре Хвост поднят, поэтому следующие перемещения линий не оставляют. Черепаха проходит вперёд 13 единиц: \((27;21)→(27;8)\). Поворачивает направо. Теперь она направлена влево. Проходит вперёд 30 единиц: \((27;8)→(−3;8)\). После ещё одного поворота направо Черепаха направлена вверх. 1.3. Вторая фигура Начальная точка второй фигуры: \((−3;8)\). За первые два повторения Черепаха обводит прямоугольник с вершинами:\((−3;8)\), \((−3;55)\), \((83;55)\), \((83;8)\). Таким образом, получены два пересекающихся прямоугольника. 2. Подсчёт точек. Для прямоугольника с целочисленными границами количество точек, включая границу, вычисляется по формуле: \((x_{max}-x_{min}+1)*(y_{max}-y_{min}+1)\). Количество точек для первого прямоугольника: \((27-0+1)*(21-0+1)=28*22=616\). Количество точек для второго прямоугольника: \((83-(-3)+1)*(55-8+1)=87*48=4176\). Пересечение прямоугольников имеет границы: \(0 \le x\le 27\) и \(8 \le y \le 21\). Соответственно, количество точек в пересечении: \((27-0+1)*(21-8+1)=28*14=392\). Так как точки пересечения дублируются и для первого, и для второго прямоугольников, то: \(616+4176-392=4400\). Ответ: 4400. Способ 2. Программный подход 1. Построим маршрут передвижений Черепахи. from turtle import * # Настраиваем размер окна screensize(2000, 2000) # Отключаем анимацию рисования tracer(0) # Устанавливаем масштаб: одна единица алгоритма равна 10 пикселям scale = 10 # Поворачиваем Черепаху налево, чтобы направить вдоль положительного направления оси ординат left(90) # Опускаем хвост перед началом движения down() # Рисуем первый прямоугольник for _ in range(5): forward(21 * scale) right(90) forward(27 * scale) right(90) # Поднимаем хвост и переходим к началу второй фигуры up() forward(13 * scale) right(90) forward(30 * scale) right(90) # Опускаем хвост down() # Рисуем второй прямоугольник for _ in range(5): forward(47 * scale) right(90) forward(86 * scale) right(90) # Поднимаем хвост, чтобы не оставлять линии up() # Отмечаем целочисленные точки координатной плоскости for x in range(-100, 100): for y in range(-100, 100): setpos(x * scale, y * scale) dot(4, 'blue') # Оставляем окно открытым done() exit() Получаем рисунок: 2. Подсчёт точек. Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) число точек с целочисленными координатами, включая границу, равно \((a+1)*(b+1)\). Прибавляем единицу, потому что на отрезке длиной \(a\) расположено \(a+1\) целочисленных точек. Например, на отрезке от 0 до 3 находятся точки 0, 1, 2, 3, то есть 4 точки. Количество точек для первого прямоугольника: \((27+1)*(21+1)=28*22=616\). Количество точек для второго прямоугольника: \((86+1)*(47+1)=87*48=4176\). Пересечение прямоугольников по горизонтали имеет длину 27. По вертикали второй прямоугольник начинается на высоте 8, а первый заканчивается на высоте 21. Поэтому высота общей части равна \(21−8=13\). Соответственно, количество точек в пересечении: \((27+1)*(13+1)=28*14=392\). Так как точки пересечения дублируются и для первого, и для второго прямоугольников, то: \(616+4176-392=4400\). Ответ: 4400.