Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а)

Четырехугольник $CNMA$ – вписанный ($\angle C+\angle M=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ как сумма противоположных углов в четырехугольнике)
$\angle CAN=\angle CMN$ (вписанные углы, опираются на одну дугу $NC$), ч.т.д.
 
б) $\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}$ – найти, $tg\angle BAC=\frac{4}{3}$
Заметим, что $\Delta ANB$ и $\Delta CBM$ имеют общий угол $В$
По теореме синусов в $\Delta ANB$:
$R_{ANB}=\frac{AN}{2\sin\angle B}$
По теореме синусов в $\Delta CBM$:
$R_{CBM}=\frac{CM}{2\sin\angle B}$
Найдем отношение радиусов окружностей, описанных около $\Delta ANB$ и $\Delta CBM$:
$\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\frac{AN}{2\sin\angle B}:\frac{CM}{2\sin\angle B}=\frac{AN}{2\sin\angle B}\cdot\frac{2\sin B}{CM}=\frac{AN}{CM}$
$AN$ – диаметр, т.к. на него опирается $\angle C=90^{\circ}$
Пусть $R$ – радиус окружности, описанной около $CNMA$
$\Delta CMA$ вписан в эту же окружность
По теореме синусов для $\Delta CMA$:
$2R=\frac{CM}{\sin\angle CAM}$, $AN=2R$ ($\angle NMA=90^{\circ}$, прямой угол опирается на диаметр)
Приравняем $2R$:
$\frac{CM}{\sin\angle CAM}=AN$
Поделим правую и левую часть на $СМ$:
$\frac{AN}{CM}=\frac{1}{\sin\angle CAM}$
$\angle CAM=\angle BAC$, тогда
$\frac{AN}{CM}=\frac{1}{\sin\angle BAC}$
Из условия известно, что $tg\angle BAC=\frac{4}{3}$. 
По определению тангенса:
$\frac{\sin\angle BAC}{\cos\angle BAC}=\frac{4}{3}$  
По основному тригонометрическому тождеству:
$\frac{\sin\angle BAC}{\sqrt{1-\sin^2\angle BAC}}=\frac{4}{3}$
Преобразуем выражение с помощью перекрёстного умножения, получим:
$4\sqrt{1-\sin^2\angle BAC}=3\sin\angle BAC$
Возведём обе части уравнения в квадрат, получим:
$16-16\sin^2\angle BAC=9\sin^2\angle BAC\\ 25\sin^2\angle BAC=16\\ sin^2\angle BAC=\frac{16}{25}\\ \sin\angle BAC=\frac{4}{5}$
Т. к. искомый угол острый, синус его положительный.
Зная синус $\angle BAC$, найдем его тангенс:
$\frac{AN}{CM}=\frac{1}{\sin\angle BAC}=\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}$
Ответ: $\frac{5}{4}$.