Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а)

$C_1B_1 || BC$ (средняя линия) $C_1H$ - медиана в прямоугольном треугольнике $AHB$ (угол $H=90^\circ$), значит $C_1H=\frac{AB}{2}$  $A_1B_1=\frac{AB}{2}$ (средняя линия), значит $C_1HA_1B_{1}$ - равнобедренная трапеция (вписанная), значит точки лежат на одной окружности.
 
б) $B_1C_1=\sqrt{3}$
Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен $ABC$ (по трем пропорциональным сторонам, стороны в два раза меньше меньшего треугольника).
 
Радиус описанной окружности около $\triangle{A_1B_1C_1}$ по теореме синусов: 
$R=\frac{\sqrt{3}}{2\sin{{60}^{\circ}}}=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=1$
$C_{1}B_{1} \| BC, \ A_{1}B_{1} \| AB$ $($средние линии в $\triangle{ABC}) \Rightarrow   \angle{C_{1}B_{1}A} =  \angle{BCA} = {45}^{\circ}, \ \angle{A_{1}B_{1}C} = \angle{BAC} = {60}^{\circ}$ (как соответственные)
 
$\Rightarrow \angle{C_{1}B_{1}A_{1}} = {180}^{\circ} -  \angle{A_{1}B_{1}C} -  \angle{C_{1}B_{1}A} = {75}^{\circ}$
 
В свою очередь $AC_{1}A_{1}B_{1}$ - параллелограмм, так как $C_{1}A_{1} \| AB_{1}, \ AC_{1} \| B_{1}A_{1} \Rightarrow \angle{B_{1}A_{1}C_{1}} = \angle{C_{1}AB_{1}} = {60}^{\circ}$
 
$\Rightarrow$ В $\triangle{B_{1}A_{1}C_{1}}$: $\angle{B_{1}C_{1}A_{1}} = {180}^{\circ} - {75}^{\circ} - {60}^{\circ} = {45}^{\circ}$
 
В а) мы выяснили, что $C_{1}HA_{1}B_{1}$ - равнобедренная трапеция $\Rightarrow \angle{HC_{1}B_{1}} =  \angle{A_{1}B_{1}C_{1}} = {75}^{\circ}$
 
$\Rightarrow \angle{A_{1}C_{1}H} = \angle{HC_{1}B_{1}} - \angle{B_{1}C_{1}A_{1}} = {30}^{\circ}$
 
По теореме синусов в $\triangle{C_{1}HA_1}$:
$R=\frac{A_1H}{2\sin{\angle{A_1C_1H}}}\\ A_1H=2\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=1$
 
 
Ответ: 1.