Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) Проведем перпендикуляр $OT$ к основанию $BC$ и попробуем доказать, что $2OT=AH$. Для этого проведем высоту $OB_{1}$ к $CH$. Заметим, что треугольники $OTB_{1}$ и $ABH$ подобны, так как $TB_{1}$ - средняя линия треугольника $BCH$ (центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, т.е. $BT=TC$, $HB_{1} =B_{1} C)$, значит она параллельна $BH$, а $OT$ параллельно $AH$, поскольку $OT$ перпендикулярно $BC$ и $AH$ является частью перпендикуляра к $BC$. При этом $\frac{TB_{1}}{BH} =\frac{1}{2}$, т.к. средняя линия. Значит, коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$ и $AH=2OT$, поскольку они параллельны.

Далее будем доказывать, что $AO=2OT$:
Проведем радиусы $BO$ и $OC$, угол $A$ равен $120^{\circ }$, значит большая часть дуги $BC$ равна $240^{\circ }$, а меньшая $360^{\circ } -240^{\circ } -120^{\circ }$, значит угол $BOC$ (лежащий напротив точки $A$) равен $120^{\circ }$, отсюда в равнобедренном треугольнике $BOC~ OT$ является высотой, биссектрисой и медианой, следовательно:
$\angle TOC=60^{\circ } ,\angle TCO=90^{\circ } -60^{\circ } =30^{\circ },$ 
отсюда сторона $OT$ лежит напротив угла в $30^{\circ }$ в прямоугольном треугольнике, значит, она равна $\frac{1}{2}$ гипотенузы $OC$, которая является радиусом. Получаем:
$OC=AO=2OT=AH$ Ч.Т.Д.

б) Из доказанного в пункте a) $AH=AO=2OT=R$. По теореме синусов: 
$R=\frac{BC}{2\sin{\angle{BAC}}} =\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} =\sqrt{5}$ 
Осталось найти угол $HAO$: для этого найдем угол $H_{1} AO$, который является смежным для  искомого. Угол $H_{1} AO$ в свою очередь равен углу $AOT$ - они являются внутренними накрест лежащими для дуги $AB$, на которую опирается угол $ACB=15^{\circ }$, значит $\angle BOA=2\angle BCA=30^{\circ }$, отсюда:
$\angle AOT=60^{\circ } -30^{\circ } =30^{\circ } =\angle H_{1} AO\Rightarrow \angle HAO=180^{\circ } -\angle H_{1} AO=180^{\circ } -30^{\circ } =150^{\circ }$ 
Теперь рассмотрим треугольник $HAO$, его площадь равна:
$S=\frac{1}{2} AH\cdot AO\cdot \sin{\angle{HAO}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} =\frac{5}{4}$
Ответ: $\frac{5}{4}$.