Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) Обозначим центры окружностей $O_{1}$ и $O_{2}$ соответственно. Пусть общая касательная, проведенная к окружностям в точке $K$, пересекает $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $AM=KM=BM$. Треугольник $AKB$, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. $\Rightarrow$Вписанный угол $AKD$ прямой, поэтому он опирается на диаметр $AD$. Значит, $AD\perp AB$. Аналогично получаем, что $BC\perp AB$. Следовательно, $AD\perp BC$.
 $\Rightarrow \angle{DAB} + \angle{CBA} = {180}^{\circ} \Rightarrow AD \| BC$

б) Проведем к $AD$ перпендикуляр $O_{2} H$. В таком случае:
$O_{1} O_{2} =4+1=5, \ O_{1} H=O_{1} A-HA=O_{1} A-O_{2} B=4-1=3$ 
(т.к. $HA=O_{2} B$ в прямоугольнике $HABO_{2}$)

 Отсюда по теореме Пифагора:
$HO_{2} =\sqrt{O_{1} O_{2}^{2} -O_{1} H^{2}} =\sqrt{5^{2} -3^{2}} =4\\ HO_{2} =AB=4$ 

Из треугольника $ABD$ по теореме Пифагора:
$DB=\sqrt{AD^{2} +AB^{2}} =\sqrt{8^{2} +4^{2}} =4\sqrt{5}$
Согласно теореме о касательной и секущей:

$AB^{2} =BD\cdot BK \Rightarrow BK = \frac{AB^{2}}{BD} = \frac{16}{4\sqrt{5}} =\frac{4}{\sqrt{5}}$
Треугольник $AKB$ - прямоугольный. По теореме Пифагора:
$AK=\sqrt{AB^{2} -BK^{2}} =\sqrt{4^{2} -\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^{2}} =\frac{8}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow S_{AKB} =\frac{1}{2} \cdotp \frac{8}{\sqrt{5}} \cdotp \frac{4}{\sqrt{5}} =\frac{16}{5} =3,2$ 

Ответ: $3,2$.