Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) 

Доказать, что $MN||BO$
 
$\angle ANM=\frac{\smile{MN}}{2}$ (угол между касательной и хордой)
$\smile{NC} = {180}^{\circ} - \smile{MN}$
 
Проведём $ON$
$\Delta ONB=\Delta OCB$ по двум катетам ($ON=OC$ как радиусы, $BN=BC$ как отрезки касательных) $\Rightarrow BO$ – биссектриса $\angle NOC$ $\Rightarrow T$ – середина дуги $NC$
$\smile{NT}= \; \smile{CT}=\frac{\smile{NC}}{2}= {90}^{\circ}-\frac{\smile{MN}}{2}$
$\angle NOT=\angle COB= {90}^{\circ}-\frac{\smile{MN}}{2}\\ \angle NBO=\frac{\smile{MN}}{2}\\ \Rightarrow \frac{\smile{MN}}{2}=\angle NBO=\angle ANM ~(углы~соответственные~при~MN~и~OB)\\ \Rightarrow MN||OB\\ Ч.т.д.$
б) $CN=4$, $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$
 
Пусть $AM=2х$, $MC=6х$
$MO=OC=3x$ (радиусы)
$S_{BOMN}-?$
$S_{BOMN}=S_{BOA}-S_{NMA}$
 
$\Delta BOA\sim\Delta NMA$ по двум углам ($\angle A$ общий, $\angle MNA=\angle OBA$)
$K=\frac{OA}{MA}=\frac{3x+2x}{2x}=\frac{5}{2}$
$S_{NMA}=\frac{4}{25}S_{BOA}$ (площади относятся как квадрат коэффициента подобия)
$S_{BOMN}=S_{BOA}-\frac{4}{25}S_{BOA}=\frac{21}{25}S_{BOA}$
В $\Delta AON$ по теореме Пифагора:
$AN^2=AO^2-ON^2\\ AN^2=25x^2-9x^2\\ AN=4x$
Пусть $NB=CB=y$ как отрезки касательных
По теореме Пифагора в $\Delta ABC$:
$y^2+64x^2=(4x+y)^2\\ 48x^2=8xy\\ 6x=y\\ NB=CB=6x\\ S(BOA)=S(ONA)+S(ONB)=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 4x+\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 6x=15x^2$
Из $\Delta COB$ по теореме Пифагора:
$OB=\sqrt{CB^2+OC^2}=3\sqrt{5}x\\ MN=\frac{2}{5}OB=\frac{6\sqrt{5}\cdot x}{5}$
По теореме Пифагора для $\Delta MNC$:
$\frac{36\cdot 5}{25}x^2+16=36x^2\\ 16=36x^2-\frac{36x^2}{5}\\ 4=x^2-\frac{9x^2}{5}\\ \frac{36x^2}{5}=4\\ x^2=\frac{5}{9}\\ x=\frac{\sqrt{5}}{3}\\ S_{BOA}=15\cdot x^2=\frac{75}{9}\\ S_{BOMN}=\frac{21}{25}S_{BOA}=\frac{21}{25}\cdot\frac{75}{9}=7$
Ответ: 7