Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) $AB\perp AD,AD$ - диаметр. Значит $AB$ - касательная к окружности. Угол $BAM$ - угол между касательной и хордой,$\angle BAM=\frac{\cup AM}{2}$, угол $CAD$ - вписанный, $\angle CAD=\frac{\cup CD}{2}$
$AMCD$ - вписанная трапеция, значит она равнобедренная, $AM=CD$
Если хорды равны, то и дуги, которые их стягивают, тоже равны, $\cup AM=\cup CD$
Итак, $\angle BAM=\frac{\cup AM}{2},\angle CAD=\frac{\cup CD}{2},\cup AM=\cup CD$, значит $\angle BAM=\angle CAD$, Ч.Т.Д.
 

б) Теорема о касательной и секущей:
$AB^2=BC\cdot BM\\ 6^2=4BM\cdot BM\\ 36=4BM^2\\ BM^2=9\\ BM=3$
Тогда $BC=12,CM=9$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$, по теореме Пифагора:
$AM^2=AB^2+BM^2\\ AM^2=6^2+3^2\\ AM=3\sqrt{5}$
$CD=AM=3\sqrt{5}$ так как трапеция $AMCD$ равнобедренная
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, по теореме Пифагора:
$AC^2=AB^2+BC^2\\ AC^2=6^2+12^2=180$
Угол $ACD$ опирается на диаметр, значит $\angle ACD={90}^{\circ}$, треугольник $ACD$ прямоугольный
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$, по теореме Пифагора:
$AD^2=AC^2+CD^2\\ AD^2=180+45=225\\ AD=15$
$\angle CBD=\angle BDA$, как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$
$\angle COB=\angle AOD$, как вертикальные
Треугольники $COB$ и $AOD$ подобны по двум углам
Тогда $\frac{BO}{OD}=\frac{AD}{BC}=\frac{12}{15}$
$\frac{BO}{OD} = \frac{12}{15}=\frac{4}{5}\\ \frac{BO}{BD}=\frac{BO}{BO+OD}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$
У треугольников $BOA$ и $BAD$ высота из угла $A$ совпадает. Значит площади этих треугольников относятся также, как $\frac{BO}{BD}$
$\frac{S_{BOA}}{S_{BAD}}=\frac{BO}{BD}=\frac{4}{9}$
$S_{BAD}=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot AD$ так как треугольник $BAD$ прямоугольный
$S_{BAD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 15=45\\ S_{BOA}=\frac{4}{9}\cdot S_{BAD}=\frac{4\cdot 45}{9}=20$
Ответ: 20