Задание 18 ЕГЭ по математике профильной

а) 

$\cup AB = \cup BC = \cup CD$ (т. к. равные хорды стягивают равные дуги)
$\angle\alpha=\cup\frac{AB}{2}\\ \angle\beta=\cup\frac{CD}{2}$
Т. к. дуги равны, $\alpha = \beta$
Т. к. они накрест лежащие, $BC || AD$
Ч. т. д.

б) По теореме синусов:

$\frac{AB}{\sin{\angle{ACB}}} = 2R \\ \frac{AB}{2R} = \sin{\angle{ACB}} \\ \Rightarrow \sin{\angle{ACB}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

$\angle{BAC} = \angle{CAD} =\angle{BCA} = \alpha \ -$ так как опираются на равные хорды

Так как $ABCD \ -$ равнобедренная трапеция, то $\angle{CDA}  = 2 \angle{BCA} = 2 \alpha$ $\Rightarrow \sin{\angle{CDA}} = 2\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
По теореме синусов из треугольника $CDA$:

$\frac{AC}{\sin\angle{CDA}} = \frac{CD}{\sin\angle{CAD}} \\ \frac{AC}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{CD}{\sin\alpha} \\ \Rightarrow AC = CD \cdot 2\cos\alpha = 24\cos\alpha$
По теореме косинусов из треугольника $ACD$:

${CD}^{2} = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cdot \cos\alpha \\ 144 = (24\cos\alpha)^2 + AD^2 - 2 \cdot 24 \cdot AD \cdot \cos^2\alpha$
Через ОТТ найдем $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$
Тогда:

$AD^2 - 48\cdot \frac{7}{16} \cdot AD + 24^2 \cdot \frac{7}{16} - 144 = 0 \\ AD^2 -21AD + 108 = 0 \\ (AD-12)(AD-9) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}     AD = 12 \\ AD = 9  \end{array} \right.$

Если $AD = 12$, то $ABCD \ -$ квадрат, в таком случае $R \ne 8$, противоречие. $\Rightarrow AD = 9$
Ответ: 9