Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) Воспользуемся формулами приведения и двойного угла:

$1-2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0\\ -2\sin^2x+\sqrt{2}\sin x=0\\ \sin x(-2\sin x+\sqrt{2})=0\\ \sin x=0~или~\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=\pi k,k\in Z\\ x=\frac{\pi }{4} +2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{3\pi }{4} +2\pi n,n\in Z \end{array} \right.$
б) Отберем корни, которые принадлежат отрезку $[\frac{5\pi }{2} ;4\pi ]$, при помощи единичной тригонометрической окружности:

Нам подходят корни: $3\pi,4\pi,3\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$. Ответ: а) $\pi k,k\in Z, \frac{\pi}{4}+2\pi n, \frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$; б) $3\pi, 4\pi, \frac{11\pi}{4}$.