Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $8\sin^2x-2\sqrt{3}\cos (\frac{\pi}{2}-x)-9=0$

Используем формулу приведения:

$8\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x-9=0\\ \sin x=t, t\in[-1;1]\\ 8t^2-2\sqrt{3}t-9=0\\ D=12+4\cdot 8\cdot 9=300$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t_{1} =\frac{2\sqrt{3} +10\sqrt{3}}{16} =\frac{12\sqrt{3}}{16} =\frac{3\sqrt{3}}{4} >1-не\ подходит\\ t_{2} =\frac{2\sqrt{3} -10\sqrt{3}}{16} =\frac{-8\sqrt{3}}{16} =-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$

$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi }{3} +2\pi n,n\in Z\\ x=-\frac{2\pi }{3} +2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$

б) Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью.

Нам подходит число: $-\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{3}$
 
Ответ: а) ${-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z, -\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z}$; б) $-\frac{7\pi}{3}$.