Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $\sin x(1-2\sin^2x)+\sin x=\sqrt{3}\cos^2x\\ \sin x-2\sin^3x+\sin x=\sqrt{3}(1-\sin^2x)\\ 2\sin x(1-\sin^2x)=\sqrt{3}(1-\sin^2x)\\ (1-\sin^2x)(2\sin x-\sqrt{3})=0\\ \left[ \begin{array}{l} \sin^2 x = 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} \end{array} \right.$

б) С помощью тригонометрической окружности отберем корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]\).

Нам подойдут:

$4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}\\ \frac{9\pi}{2}\\ \frac{7\pi}{2}$
Ответ: а) $x=\frac{\pi }{2} +\pi n$, $n\in Z$; $x=\frac{\pi }{3} +2\pi n$, $n\in Z$; $x=\frac{2\pi }{3} +2\pi n$, $n\in Z$; б) $\frac{13\pi}{3}$; $\frac{9\pi}{2}$; $\frac{7\pi}{2}$