Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x$
$2 - 2\cos 2x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$
$2 - 2(1 - 2\sin^2 x) + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$
$2 - 2 + 4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$
$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x$
$4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0$
$4\sin^2 x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sin x - \sqrt{6} = 0$

Введём замену: $t = \sin x$.
$4t^2 + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0$
$D = 4(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 16\sqrt{6}=20 + 8\sqrt{6}=4(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
$\sqrt{D} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
$t_1 = \dfrac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \dfrac{4\sqrt{3}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
$t_2 = \dfrac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \dfrac{-4\sqrt{2}}{8} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Обратная замена:
$\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\; x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$с помощью единичной окружности.

Получим числа:

$\dfrac{13\pi}{4}$, $\dfrac{15\pi}{4}$, $\dfrac{13\pi}{3}$.

Ответ:
а) $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\; \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\; -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\; -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{13\pi}{4}$, $\dfrac{15\pi}{4}$, $\dfrac{13\pi}{3}$.