Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а)
$1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin (x + \pi) = \sqrt{3} - 2 \sin x$
По формуле приведения $\sin (x + \pi) = -\sin x$. Запишем по формуле косинуса двойного угла$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Получаем:
$1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{3}(-\sin x) = \sqrt{3} - 2 \sin x$
$2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} - 2 \sin x$
$2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0$
$2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x + 2 \sin x - \sqrt{3} = 0$

$(2\sin^2 x + 2\sin x) - (\sqrt{3} \sin x + \sqrt{3}) = 0$

$2\sin x (\sin x + 1) - \sqrt{3} (\sin x + 1) = 0$

$(\sin x + 1)(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$
Таким образом:

$\sin x = -1$ $\Rightarrow$ $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$
$\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$с помощью единичной окружности.

Получим точки: $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{3}$.

Ответ:

а) $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z};\quad x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z};\quad x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
б) $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{3}$.